已知兩定點(diǎn)F1(-
2
,0)
F2(
2
,0)
,滿足條件|
PF
2
|-|
PF
1
|=2
的點(diǎn)P的軌跡是曲線E,直線y=kx-1與曲線E交于A,B兩點(diǎn) 如果|
AB
|=6
3
,且曲線E上存在點(diǎn)C,使
OA
+
OB
=m
OC
,求m的值.
分析:由雙曲線的定義可知曲線E的方程,將直線方程代入雙曲線方程,利用韋達(dá)定理可確定k的范圍,利用弦長(zhǎng)公式,可求k的值,根據(jù)
OA
+
OB
=m
OC
,可得點(diǎn)C的坐標(biāo)代入曲線E的方程,即可得到結(jié)論.
解答:解:由雙曲線的定義可知,曲線E是以F1(-
2
,0),F2(
2
,0)
為焦點(diǎn)的雙曲線的左支,且c=
2
,a=1

所以b=1.
故曲線E的方程為x2-y2=1(x<0).
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由
y=kx-1
x2-y2=1
,得(1-k2)x2+2kx-2=0.
由已知得,
△=(2k)2+8(1-k2)>0
x1+x2=
-2k
1-k2
<0
x1x2=
-2
1-k2
>0
,解得-
2
<k<-1

|AB|=
(1+k2)[(
-2k
1-k2
)
2
-4•
-2
1-k2
=2
(1+k2
2-k2
(1-k2)2
 
=6
3

即28k4-55k2+25=0,∴k2=
5
7
k2=
5
4

又∵-
2
<k<-1
,∴k=-
5
2

x1+x2=
2k
k2-1
=-4
5
,y1+y2=k(x1+x2)-2=
2k2
k2-1
-2=
2
k2-1
=8

設(shè)C(xc,yc),由已知
OA
+
OB
=m
OC
,得(x1,y1)+(x2,y2)=(mxc,myc),且m≠0.
xc=
x1+x2
m
=
-4
5
m
yc=
y1+y2
m
=
8
m
,即C(
-4
5
m
,
8
m
).
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入曲線E的方程,得
80
m2
-
64
m2
=1
,∴m=±4.
但當(dāng)m=-4時(shí),點(diǎn)C不在曲線E上,不合題意.
∴m=4.
點(diǎn)評(píng):本題考查雙曲線的定義,考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用,考查向量知識(shí),屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知兩定點(diǎn)F1(-
2
,0)
,F2(
2
,0)
,滿足條件|
PF2
|-|
PF1
|
=2的點(diǎn)P的軌跡是曲線E,直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn).如果
|AB|
=6
3
且曲線E上存在點(diǎn)C,使
OA
+
OB
=m
OC
求m的值和△ABC的面積S.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知兩定點(diǎn)F1(-
2
,0)
,F2(
2
,0)
,滿足條件|
PF2
|-|
PF1
|=2
的點(diǎn)P的軌跡是曲線E,直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求k的取值范圍;
(Ⅱ)如果|AB|=6
3
且曲線E上存在點(diǎn)C,使
OA
=
OB
=m
OC
求m的值和△ABC的面積S.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知兩定點(diǎn)F1(-
2
,0),F2(
2
,0)
,平面上動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=2.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡c的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)M(0,1)的直線l與c交于A、B兩點(diǎn),且
MA
MB
,當(dāng)
1
3
≤λ≤
1
2
時(shí),求直線l的斜率k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知兩定點(diǎn)F1(-
2
,  0),F2(
2
,  0)
,滿足條件|
PF2
|-|
PF1
| =2
的點(diǎn)P的軌跡是曲線C,直線y=kx-2與曲線C交于A、B兩點(diǎn),且|AB| =
2
5
3

(1)求曲線C的方程;
(2)求直線AB的方程;
(3)若曲線C上存在一點(diǎn)D,使
OA
+
OB
=m
OD
,求m的值及點(diǎn)D到直線AB的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知兩定點(diǎn)F1(-
2
,0)
,F2(
2
,0)
,點(diǎn)P是曲線E上任意一點(diǎn),且滿足條件|
PF2
|-|
PF1
|=2

①求曲線E的軌跡方程;
②若直線y=kx-1與曲線E交于不同兩點(diǎn)A,B兩點(diǎn),求k的范圍.

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