已知AB=2a,在以AB為直徑的半圓上有一點(diǎn)C,設(shè)AB中點(diǎn)為O,∠AOC=60°.
(1)在
BC
上取一點(diǎn)P,若∠BOP=2θ,把PA+PB+PC表示成θ的函數(shù);
(2)設(shè)f(θ)=PA+PB+PC,當(dāng)θ為何值時(shí)f(θ)有最大值,最大值是多少?
分析:(1)在三角形中使用余弦定理求出PA、PB、PC的長度,使用二倍角公式及兩角和差的三角公式進(jìn)行化簡.
(2)利用兩角和差的三角公式進(jìn)一步化簡f(θ)的解析式到關(guān)于某一個(gè)角的正弦函數(shù)的形式,利用正弦函數(shù)的最值,
求出f(θ)的最大值,并求出此時(shí)θ的值.
解答:解:(1)由題意知,AB為直徑的半圓的半徑為a,0°<2θ<120°,∴0°≤θ≤60°,
△PAO中,由余弦定理得 PA=
a2+a2-2a•acos(180°-2θ)
=2acosθ,
同理可求得 PB=
a2+a2-2a•acos2θ
=2asinθ,
PC=
a2+a2-2a•acos(120°-2θ)
=2asin(60°-θ),
∴PA+PB+PC=2asinθ+2acosθ+2asin(60°-θ)=2asinθ+2acosθ+2a(
3
2
cosθ-
1
2
sinθ)
=asinθ+(2+
3
)acosθ.
(2)f(θ)=PA+PB+PC=asinθ+(2+
3
)acosθ=2a
2+
3
1
2
2+
3
sinθ+
2+
3
2
2+
3
cosθ)
令cosα=
1
2
2+
3
,sinα=
2+
3
2
2+
3
,則 f(θ)=2a
2+
3
sin(θ+α),
取銳角α,則α=arcsin
2+
3
2
2+
3
>45°,故 當(dāng)θ=90°-arcsin
2+
3
2
2+
3
時(shí),sin(θ+α)=1取得最大值,
此時(shí),f(θ)取最大值  2a
2+
3
點(diǎn)評:本題考查余弦定理、二倍角的余弦公式、兩角和差的三角公式的應(yīng)用,以及利用正弦函數(shù)的有界性求函數(shù)的最值,
要注意θ的范圍.
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已知AB=2a,在以AB為直徑的半圓上有一點(diǎn)C,設(shè)AB中點(diǎn)為O,∠AOC=60°.
(1)在上取一點(diǎn)P,若∠BOP=2θ,把PA+PB+PC表示成θ的函數(shù);
(2)設(shè)f(θ)=PA+PB+PC,當(dāng)θ為何值時(shí)f(θ)有最大值,最大值是多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知A、B為兩定點(diǎn),且||=2c,C為動(dòng)點(diǎn)且滿足||=2a(ac>0,ac為常數(shù)),DAC中點(diǎn),P在邊BC上且·=0.

(1)以AB所在直線為x軸,AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,求點(diǎn)P的軌跡方程.

(2)若F、G是點(diǎn)P的軌跡上任意兩個(gè)不同的點(diǎn),且線段FG的中垂線與直線AB相交,交點(diǎn)為Qt,0).

①證明:存在最小的正數(shù)M,使得tM,并求M的值.

②若M=,求∠APC的取值范圍.

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