如圖,已知AB=2c(常數(shù)c>0),以AB為直徑的圓有一內(nèi)接梯形ABCD,且ABCD,若橢圓以A,B為焦點(diǎn),且過(guò)C,D兩點(diǎn),則當(dāng)梯形ABCD的周長(zhǎng)最大時(shí),橢圓的離心率為_(kāi)_____.
設(shè)∠BAC=θ,過(guò)C作CE⊥AB,垂足為E,則
BC=2csinθ,EB=BCcos(90°-θ)=2csin2θ,∴CD=2c-4csin2θ,
梯形的周長(zhǎng)l=AB+2BC+CD=2c+4csinθ+2c-4csin2=-4c(sinθ-
1
2
)2+5c.
當(dāng)sinθ=
1
2
,即θ=30°時(shí),l有最大值5c,這時(shí),BC=c,AC=
3
c,a=
1
2
(AC+BC)=
3
+1
2
c
,
∴e=
c
a
=
c
3
+1
2
c
=
3
-1

故答案
3
-1

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

若橢圓x2+
y2
2
=a2(a>0)
和連接A(1,1)、B(2,3)兩點(diǎn)的線段沒(méi)有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A.[0,
6
2
]
B.[
6
2
,
34
2
]
C.[
34
2
,+∞]
D.(0,
6
2
)∪(
34
2
,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
中,F(xiàn),A,B分別為其左焦點(diǎn),右頂點(diǎn),上頂點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),M為線段OB的中點(diǎn),若FMA為直角三角形,則該橢圓的離心率為( 。
A.
5
-2
B.
5
-1
2
C.
2
5
5
D.
5
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知A1,A2為橢圓
x2
4
+y2=1的左右頂點(diǎn),在長(zhǎng)軸A1A2上隨機(jī)任取點(diǎn)M,過(guò)M作垂直于x軸的直線交橢圓于點(diǎn)P,則使∠PA1A2<45°的概率為( 。
A.
4
5
B.
7
10
C.
3
10
D.
1
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

橢圓
t2
5
+
y2
4
=口
的十個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(  )
A.(3,0)B.(0,3)C.(1,0)D.(0,1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

橢圓x2+
ky2
5
=1
的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2),那么實(shí)數(shù)k的值為(  )
A.-25B.25C.-1D.1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1、F2,若C上存在點(diǎn)P滿足|PF1|=2|F1F2|,則橢圓C的離心率e的取值范圍是( 。
A.0<e≤
1
5
B.
1
3
≤e<1
C.
1
5
≤e≤
1
3
D.0<e≤
1
5
1
3
≤e<1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

點(diǎn)P是橢圓
x2
9
+
y2
4
=1上的一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是焦點(diǎn),且∠F1PF2=60°,則△F1PF2的面積是( 。
A.
4
3
3
B.4
3
C.
4
3
D.
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知點(diǎn)A(-1,0)、B(1,0),P(x0,y0)是直線y=x+2上任意一點(diǎn),以A、B為焦點(diǎn)的橢圓過(guò)點(diǎn)P.記橢圓離心率e關(guān)于x0的函數(shù)為e(x0),那么下列結(jié)論正確的是(  )
A.e與x0一一對(duì)應(yīng)
B.函數(shù)e(x0)無(wú)最小值,有最大值
C.函數(shù)e(x0)是增函數(shù)
D.函數(shù)e(x0)有最小值,無(wú)最大值

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