精英家教網(wǎng)如圖,橢圓長軸端點(diǎn)為A,B,O為橢圓中心,F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),且
AF
FB
=1
,|
OF
|=1

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)記橢圓的上頂點(diǎn)為M,直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),問:是否存在直線l,使點(diǎn)F恰為△PQM的垂心?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)設(shè)出橢圓的方程,根據(jù)題意可知c,進(jìn)而根據(jù)
AF
FB
=1
求得a,進(jìn)而利用a和c求得b,則橢圓的方程可得.
(2)假設(shè)存在直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且F恰為△PQM的垂心,設(shè)出P,Q的坐標(biāo),利用點(diǎn)M,F(xiàn)的坐標(biāo)求得直線PQ的斜率,設(shè)出直線l的方程,與橢圓方程聯(lián)立,由韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2,進(jìn)而利用
MP
FQ
=0
求得m.
解答:解.(1)如圖建系,設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,則c=1
精英家教網(wǎng)又∵
AF
FB
=1
即(a+c)•(a-c)=1=a2-c2,∴a2=2
故橢圓方程為
x2
2
+y2=1

(2)假設(shè)存在直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且F恰為△PQM的垂心,則
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),∵M(jìn)(0,1),F(xiàn)(1,0),故kPQ=1,
于是設(shè)直線l為y=x+m,由
y=x+m
x2+2y2=2
得3x2+4mx+2m2-2=0,
又F為△PQM的垂心,則MP⊥FQ,
MP
FQ
=x1(x2-1)+y2(y1-1)=0
又yi=xi+m(i=1,2)
得x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0由韋達(dá)定理得2•
2m2-2
3
-
4m
3
(m-1)+m2-m=0

解得m=-
4
3
或m=1(舍)經(jīng)檢驗(yàn)m=-
4
3
符合條件,
此時(shí)直線l的方程為y=x-
4
3
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系.考查了學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問題的能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,橢圓長軸端點(diǎn)為,為橢圓中心,為橢圓的右焦點(diǎn),

,.

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)記橢圓的上頂點(diǎn)為,直線交橢圓于兩點(diǎn),問:是否存在直線,使點(diǎn)恰為的垂心?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分12分)如圖,橢圓長軸端點(diǎn)為,為橢圓中心,  為橢圓的右焦點(diǎn),且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)記橢圓的上頂點(diǎn)為,直線交橢圓于兩點(diǎn),問:是否存在直線,使點(diǎn)恰為的垂心?

若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆山東省濟(jì)寧市高二12月質(zhì)檢文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(本題滿分12分)

如圖,橢圓長軸端點(diǎn)為為橢圓中心,為橢圓的右焦點(diǎn),

,.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)記橢圓的上頂點(diǎn)為,直線交橢圓于兩點(diǎn),問:是否存在直線,使點(diǎn)恰為的垂心?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年浙江省溫州市高三五校聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題

(本題滿分15分)

如圖,橢圓長軸端點(diǎn)為,為橢圓中心,為橢圓的右焦點(diǎn),且,;

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)記橢圓的上頂點(diǎn)為,直線交橢圓于兩點(diǎn),問:是否存在直線,使點(diǎn)恰為的垂心?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

 

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