Question

4．已知函數(shù)f（x+1）是偶函數(shù)，且滿足f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，當(dāng)2≥x₂＞x₁≥1時(shí)，[f（x₂）-f（x₁）]（x₂-x₁）＞0恒成立，設(shè)a=f（-2016），b=f（2015），c=f（π），則a，b，c的大小關(guān)系為a＞c＞b．

Answer 1

分析 y=f（x+1）是偶函數(shù)，可得y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱．由f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，可得f（x+2）=$\frac{1}{f（x+1）}$=f（x），函數(shù)f（x）是周期為2的函數(shù)．由當(dāng)2≥x₂＞x₁≥1時(shí)，[f（x₂）-f（x₁）]（x₂-x₁）＞0恒成立，可得函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增．可得a=f（-2016）=f（2），b=f（2015）=f（1），c=f（π）=f（π-2），利用單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵y=f（x+1）是偶函數(shù)，∴y=f（x+1）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
∵函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移1個(gè)單位可得y=f（x+1）的圖象，
∴y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱．
∵f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，∴f（x+2）=$\frac{1}{f（x+1）}$=f（x），∴函數(shù)f（x）是周期為2的函數(shù)．
∵當(dāng)2≥x₂＞x₁≥1時(shí)，[f（x₂）-f（x₁）]（x₂-x₁）＞0恒成立，∴函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增．
∴a=f（-2016）=f（0）=f（2），b=f（2015）=f（1），c=f（π）=f（π-2），
∵1＜π-2＜2，
∴a＞c＞b．
故答案為：a＞c＞b．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性周期性與奇偶性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．