已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a
n}的公比為q,且0<q<
.
(1)在數(shù)列{a
n}中是否存在三項(xiàng),使其成等差數(shù)列?說明理由;
(2)若a
1=1,且對(duì)任意正整數(shù)k,a
k-(a
k+1+a
k+2)仍是該數(shù)列中的某一項(xiàng).
(ⅰ)求公比q;
(ⅱ)若b
n=-loga
n+1(
+1),S
n=b
1+b
2+…+b
n,T
r=S
1+S
2+…+S
n,試用S
2011表示T
2011.
(1)不可能(2)(ⅰ)q=
-1(ⅱ)T
2011=2012S
2011-2011
(1)由條件知a
n=a
1q
n-1,0<q<
,a
1>0,所以數(shù)列{a
n}是遞減數(shù)列.若有a
k,a
m,a
n(k<m<n)成等差數(shù)列,則中項(xiàng)不可能是a
k(最大),也不可能是a
n(最小),
若2a
m=a
k+a
n?2q
m-k=1+q
n-k,(*)
由2q
m-k≤2q<1,1+q
h-k>1,知(*)式不成立,
故a
k,a
m,a
n不可能成等差數(shù)列.
(2)(ⅰ)(解法1)a
k-a
k+1-a
k+2=a
1q
k-1(1-q-q
2)=a
1q
k-1,
由
∈
,知a
k-a
k+1-a
k+2<a
k<a
k-1<…,
且a
k-a
k+1-a
k+2>a
k+2>a
k+3>…,
所以a
k-a
k+1-a
k+2=a
k+1,即q
2+2q-1=0,
所以q=
-1.
(解法2)設(shè)a
k-a
k+1-a
k+2=a
m,則1-q-q
2=q
m-k,
由1-q-q
2∈
知m-k=1,即m=k+1,
以下同解法1.
(ⅱ)b
n=
,
(解法1)S
n=1+
+
+…+
,
T
n=1+
+
+…+
=n+
=n
-
=nS
n-[(1-
)+(1-
)+(1-
)+…+(1-
)]
=nS
n-
=nS
n-
=nS
n-n+S
n=(n+1)S
n-n,所以T
2011=2012S
2011-2011.
(解法2)S
n+1=1+
=S
n+
,所以(n+1)S
n+1-(n+1)S
n=1,
所以(n+1)S
n+1-nS
n=S
n+1,2S
2-S
1=S
1+1,3S
3-2S
2=S
2+1,……
(n+1)S
n+1-nS
n=S
n+1,累加得(n+1)S
n+1-S
1=T
n+n,
所以T
n=(n+1)S
n+1-1-n=(n+1)S
n-n=(n+1)(S
n+b
n)-1-n
=(n+1)
-1-n=(n+1)S
n-n,
所以T
2011=2012S
2011-2011
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知
為公差不為零的等差數(shù)列,首項(xiàng)
,
的部分項(xiàng)
、
、 、
恰為等比數(shù)列,且
,
,
.
(1)求數(shù)列
的通項(xiàng)公式
(用
表示);
(2)設(shè)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
, 求證:
(
是正整數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)無窮數(shù)列{an}滿足:?n∈Ν?,an<an+1,an∈N?.記bn=aan,cn=aan+1(n∈N*).
(1)若bn=3n(n∈N*),求證:a1=2,并求c1的值;
(2)若{cn}是公差為1的等差數(shù)列,問{an}是否為等差數(shù)列,證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且a5,a3,a4成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的公比;
(2)證明:對(duì)任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)之和為-3,前三項(xiàng)積為8.
(1)求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若a2,a3,a1成等比數(shù)列,求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
等差數(shù)列{a
n}中,a
7=4,a
19=2a
9.
(1)求{a
n}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)b
n=
,求數(shù)列{b
n}的前n項(xiàng)和S
n.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和為105,且a10=2a5.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)對(duì)任意m∈N*,將數(shù)列{an}中不大于72m的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm,求數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
在等差數(shù)列{an}中,S12=354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32∶27,則公差d=________.
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