【題目】如圖,四棱錐中,四邊形是菱形,,E上一點,且,設.

1)證明:平面

2)若,,求二面角的余弦值.

【答案】1)見解析(2

【解析】

1)由已知可得,,由直線與平面垂直的判定可得平面,得到,再由,進一步得到平面;

2)由(1)知,平面,以O為坐標原點,分別以,,所在直線為xy,z軸建立空間直角坐標系,設四邊形的邊長為4,,由列式求解a,可得所用點的坐標,再求出平面與平面的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.

1)證明:∵四邊形是菱形,∴O的中點,,

,,∴平面,

平面,∴.

,O的中點,∴.

平面平面,

平面

2)解:由(1)知,平面,.

∴以O為坐標原點,以,所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系.

設四邊形的邊長為4.

∵四邊形是菱形,,∴都是等邊三角形.

.

,,

,.

,∴,

,得.

,.

設平面的法向量為,

,取,得;

設平面的一個法向量為,

,取,得.

設二面角的平面角為,由圖可得,為鈍角,

.

∴二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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