【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=﹣2cosx﹣x+(x+1)ln(x+1),g(x)=k(x2+ ).其中k≠0.
(1)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在x1∈(﹣1,1],對任意x2∈( ,2],使得f(x1)﹣g(x2)<k﹣6成立,求k的取值范圍.
【答案】
(1)解:g′(x)=2kx﹣ = ,
當(dāng)k>0時,令g′(x)>0,得x>1,∴g(x)的遞增區(qū)間為(1,+∞).
令g′(x)<0,得x<1,x≠0,∴g(x)的遞減區(qū)間為(﹣∞,0),(0,1).
k<0時,同理得g(x)的遞增區(qū)間為(﹣∞,0),(0,1);遞減區(qū)間為(1,+∞)
(2)解:f′(x)=2sinx﹣1+ln(x+1)+1=2sinx+ln(x+1),
∵當(dāng)x∈(﹣1,1]時,y=2sinx及y=ln(x+1)均為增函數(shù),
∴f′(x)在(﹣1,1]為增函數(shù),又f′(0)=0,
∴當(dāng)x∈(﹣1,0)時,f′(x)<0;當(dāng)x∈(0,1]時,f′(x)>0,
從而,f(x)在(﹣1,0)上遞減,在(0,1]上遞增,
∴f(x)在(﹣1,1]上的最小值為f(0)=﹣2.
∵f(x1)﹣g(x2)<k﹣6,∴f(x1)<k﹣6+g(x2),
∴f(x)min<k﹣6+g(x)min,當(dāng)k>0時,∴g(x)min=g(1)=3k,
∴4k﹣6>﹣2,∴k>1,
當(dāng)k<0時,g(x)min=g(2)=5k,∴6k﹣6>﹣2,∴k> ,
又k<0,∴k<0時不合題意.
綜上,k∈(1,+∞).
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論k的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),問題轉(zhuǎn)化為f(x)min<k﹣6+g(x)min , 通過討論k的范圍,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,確定k的具體范圍即可.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,x∈R.
(1)證明對a、b∈R,且a≠b,總有:|f(a)﹣f(b)|<|a﹣b|;
(2)設(shè)a、b、c∈R,且 ,證明:a+b+c≥ab+bc+ca.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bln x在x=1處有極值.
(1)求a,b的值;
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.
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【題目】函數(shù)f(x)=x3+ax2+5x+6在區(qū)間[1,3]上為單調(diào)減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A. [﹣,+∞) B. (﹣∞,﹣3]∪[﹣,+∞)
C. (﹣∞,﹣3] D. [﹣,]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4﹣5:不等式選講
設(shè)函數(shù)f(x)=|2x﹣4|+|x+2|
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)若不等式f(x)≥|a+4|﹣|a﹣3|恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:
(1)函數(shù)y=f(x﹣1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱;
(2)對x∈R,f( ﹣x)=f( +x)成立
(3)當(dāng)x∈(﹣ ,﹣ ]時,f(x)=log2(﹣3x+1),則f(2011)=( )
A.﹣5
B.﹣4
C.﹣3
D.﹣2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為分析學(xué)生入學(xué)時的數(shù)學(xué)成績對高一年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響,在高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生,統(tǒng)計(jì)他們?nèi)雽W(xué)時的數(shù)學(xué)成績和高一期末的數(shù)學(xué)成績,如下表:
學(xué)生編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
入學(xué)成績x(分) | 63 | 67 | 45 | 88 | 81 | 71 | 52 | 99 | 58 | 76 |
高一期末 成績y(分) | 65 | 78 | 52 | 82 | 92 | 89 | 73 | 98 | 56 | 75 |
(1)求相關(guān)系數(shù)r;
(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程;
(3)若某學(xué)生入學(xué)時的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分,試估計(jì)他高一期末的數(shù)學(xué)成績.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c(a<b<c).已知向量 =(a,c), =(cosC,cosA)滿足 = (a+c).
(1)求證:a+c=2b;
(2)若2csinA﹣ a=0,且c﹣a=8,求△ABC的面積S.
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