Question

【題目】如圖，在四棱錐中， ， ∥，且 , ， .

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（1）證明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即從線面垂直進(jìn)行論證，而線面垂直證明，往往需要多次利用線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化，而線線垂直，有時(shí)可利用平幾條件進(jìn)行尋找與論證，如本題取中點(diǎn)E，利用平幾知識(shí)得到四邊形是矩形，從而得到，而易得，因此，進(jìn)而有平面平面；（2）利用空間向量求線面角，首先建立空間直角坐標(biāo)系：以A 為原點(diǎn)， 為軸, 為軸,建立空間直角坐標(biāo)角系，設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出面的法向量，利用向量數(shù)量積求夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)論

試題解析：解：證明：（1）為中點(diǎn), , ,且四邊形是矩形, ,又平面,且,在平面中, 平面平面,又平面平面,平面平面.

（2）以A 為原點(diǎn)， 為軸, 為軸,建立空間直角坐標(biāo)角系，

,

則

設(shè)平面的法向量,則,取,得,

設(shè)直線與平面所成的角為, ,

直線與平面所成的角的正弦值為.