Question

已知首項(xiàng)為負(fù)的數(shù)列{a_n}中，相鄰兩項(xiàng)不為相反數(shù)，且前n項(xiàng)和為S_n=．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為T_n，對一切正整數(shù)n都有T_n≥M成立，求M的最大值．

Answer 1

解：（I）∵S_n=．
∵．
∴（a_n+1-a_n-2）（a_n+1-a_n）=0
∵相鄰兩項(xiàng)不為相反數(shù)
∴a_n+1-a_n=2
∴數(shù)列{a_n}為公差為2的等差數(shù)列；

（II）由（I）知a_n=2n-7
∴
∴
因?yàn)門_n在[1，2][3，+∝）上是增函數(shù)．
且T₁=，
要使得對一切正整數(shù)n都有T_n≥M成立
只要M≤-
∴M的最大值為
分析：（I）由S_n=．結(jié)合通項(xiàng)與前n項(xiàng)和間的關(guān)系公式，求得（a_n+1-a_n-2）（a_n+1-a_n）=0
再由相鄰兩項(xiàng)不為相反數(shù)，有a_n+1-a_n=2符合等差數(shù)列的定義．
（II）由（I）知a_n=2n-7，將變形，再用裂項(xiàng)相消法求得T_n，再通過單調(diào)性來求得其最小值即可．
點(diǎn)評：本題主要考查兩個問題，一是判斷數(shù)列，方法一般是定義法或通項(xiàng)公式法，二是求前n項(xiàng)和，常用方法是倒序相加法，錯位相減法，裂項(xiàng)相消法等．