【題目】已知函數(shù) 是[1,∞]上的增函數(shù).當(dāng)實(shí)數(shù)m取最大值時(shí),若存在點(diǎn)Q,使得過(guò)Q的直線與曲線y=g(x)圍成兩個(gè)封閉圖形,且這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( )
A.(0,﹣3)
B.(0,3)
C.(0,﹣2)
D.(0,2)
【答案】C
【解析】解:由 得g′(x)=x2+1﹣ .
∵g(x)是[1,+∞)上的增函數(shù),∴g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即x2+1﹣ ≥0在[1,+∞)上恒成立.
設(shè)x2=t,∵x∈[1,+∞),∴t∈[1,+∞),即不等式t+1﹣ ≥0在[1,+∞)上恒成立.
設(shè)y=t+1﹣ ,t∈[1,+∞),
∵y′=1+ >0,
∴函數(shù)y=t+1﹣ 在[1,+∞)上單調(diào)遞增,因此ymin=2﹣m.
∵ymin≥0,∴2﹣m≥0,即m≤2.又m>0,故0<m≤2.m的最大值為2.
故得g(x)= x3+x﹣2+ ,x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞).
將函數(shù)g(x)的圖象向上平移2個(gè)長(zhǎng)度單位,所得圖象相應(yīng)的函數(shù)解析式為φ(x)= x3+2x+ ,x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞).
由于φ(﹣x)=﹣φ(x),
∴φ(x)為奇函數(shù),
故φ(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).
由此即得函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)Q(0,﹣2)成中心對(duì)稱(chēng).
這表明存在點(diǎn)Q(0,﹣2),使得過(guò)點(diǎn)Q的直線若能與函數(shù)g(x)的圖象圍成兩個(gè)封閉圖形,則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等.
故選:C.
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【題目】已知過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線: 相交于, 兩點(diǎn).當(dāng)直線的斜率是時(shí), .
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)線段的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.
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【題目】設(shè)f(logax)= ,(0<a<1)
(1)求f(x)的表達(dá)式,并判斷f(x)的奇偶性;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性;
(3)對(duì)于f(x),當(dāng)x∈(﹣1,1)時(shí),恒有f(1﹣m)+f(1﹣m2)<0,求m的取值范圍.
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【題目】網(wǎng)上購(gòu)物逐步走進(jìn)大學(xué)生活,某大學(xué)學(xué)生宿舍4人積極參加網(wǎng)購(gòu),大家約定:每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去哪家購(gòu)物,擲出點(diǎn)數(shù)為5或6的人去淘寶網(wǎng)購(gòu)物,擲出點(diǎn)數(shù)小于5的人去京東商場(chǎng)購(gòu)物,且參加者必須從淘寶和京東商城選擇一家購(gòu)物.
(1)求這4人中恰有1人去淘寶網(wǎng)購(gòu)物的概率;
(2)用ξ、η分別表示這4人中去淘寶網(wǎng)和京東商城購(gòu)物的人數(shù),記X=ξη,求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.
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【題目】已知圓C1的方程為x2+(y+1)2=4,圓C2的圓心坐標(biāo)為(2,1).
(1)若圓C1與圓C2相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=,求點(diǎn)C1到直線AB的距離;
(2)若圓C1與圓C2相內(nèi)切,求圓C2的方程.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣mx(m∈R).
(1)若曲線y=f(x)過(guò)點(diǎn)P(1,﹣1),求曲線y=f(x)在點(diǎn)P的切線方程;
(2)若f(x)≤0恒成立求m的取值范圍;
(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上最大值.
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【題目】某企業(yè)為了解下屬某部門(mén)對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況,隨機(jī)訪問(wèn)50名職工,根據(jù)這50名職工對(duì)該部門(mén)的評(píng)分,繪制頻率分布直方圖(如圖),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為, ,…, , .
(1)求頻率分布圖中的值;
(2)估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門(mén)評(píng)分不低于80的概率;
(3)從評(píng)分在的受訪職工中, 隨機(jī)抽取2人,求此2人評(píng)分都在的概率.
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