【題目】已知數(shù)列的前項和為,滿足的等差中項為).

(1)求數(shù)列的通項公式;

(2)是否存在正整數(shù),是不等式)恒成立,若存在,求出的最大值;若不存在,請說明理由.

(3)設 ,若集合恰有個元素,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1);(2)11;(3)

【解析】試題分析:

(1)由題意得,遞推作差,得,得到數(shù)列為等比數(shù)列,即可求解通項公式;

(2)原問題等價于)恒成立,可分為奇數(shù)恒成立, 為偶數(shù)時,等價于恒成立,利用函數(shù)的單調性和最值,即可求解;

(3)由(1)得,判定出數(shù)列的單調性,求得的值,集合題意集合即可得出 的范圍.

試題解析:

(1)由的等差中項為,①

時,

②得, ,有因為在①中令,得

是以,公比為的等比數(shù)列

數(shù)列的通項公式為

(2)原問題等價于)恒成立.當為奇數(shù)時,對任意正整數(shù)不等式恒成立;當為偶數(shù)時,等價于恒成立,令, ,則等價于恒成立, 上遞增

故正整數(shù)的最大值為

(3)由

,

時, ;當時,

, , ,

由集合恰有個元素,得

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