Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=na_n-2n（n-1），a₁=1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，其中b_n=

1

a nan+1

，（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，
（Ⅱ）若對(duì)于任意n∈N^*，T_n≥m²-m-

9

5

，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用公式a_n+1=S_n+1-S_n，求得通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的和，得出其最小值，則對(duì)于任意n∈N^*，T_n≥m²-m-

9

5

等價(jià)于（T_n）_min≥m²-m-

9

5

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）由S_n=na_n-2n（n-1），
得a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n，即a_n+1-a_n=4，---------------------------（4分）
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，-----------------------------------（5分）
∴a_n=4n-3；-----------------------------------------------------（6分）
（II）∵b_n=

1

a nan+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

（

1

4n-3

-

1

4n+1

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

4

（1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

）=

1

4

（1-

1

4n+1

），
又易知單調(diào)遞增，故T_n≥T₁=

1

5

，-----------------（10分）
又對(duì)于任意對(duì)于任意n∈N^*，T_n≥m²-m-

9

5

，
∴m²-m-

9

5

≤

1

5

，------------------（11分）
∴m²-m-2≤0，∴-1≤m≤2．-------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及利用裂項(xiàng)法求數(shù)列和，考查恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬難題．