已知橢圓的左、右焦點分別為、,橢圓上的點滿足,且的面積
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在直線,使與橢圓交于不同的兩點、,且線段恰被直線平分?若存在,求出的斜率取值范圍;若不存在,請說明理由.
(I)橢圓的方程為.(Ⅱ)存在滿足題設(shè)條件的直線,且的斜率取值范圍是
.

試題分析:(Ⅰ)由題意知:.,且,由此可求得,,二者相加即得,從而得橢圓的方程. (Ⅱ)假設(shè)這樣的直線存在,且直線的方程為,設(shè)與橢圓的兩交點為、,若線段恰被直線平分,則.這顯然用韋達定理.由
.再用韋達定理得,代入,再將此式代入得一只含的不等式,解此不等式即得的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)由題意知:,                       (1分)
橢圓上的點滿足,且,


.                           (2分)
.                          (3分)
橢圓的方程為.                           (4分)
(Ⅱ)假設(shè)這樣的直線存在.與直線相交,直線的斜率存在.
設(shè)的方程為,                               (5分)
.(*)     (6分)
直線與橢圓有兩個交點,
(*)的判別式,即.①  (7分)
設(shè)、,則.          (8分)
被直線平分,可知,
,. ②            (9分)
把②代入①,得,即.     (10分)
,.                                  (11分)
.即存在滿足題設(shè)條件的直線,且的斜率取值范圍是
.                               (12分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:的左、右焦點和短軸的一個端點構(gòu)成邊長為4的正三角形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過右焦點的直線與橢圓C相交于A、B兩點,若,求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知頂點是坐標(biāo)原點,對稱軸是軸的拋物線經(jīng)過點
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線過定點,斜率為,當(dāng)為何值時,直線與拋物線有公共點?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓經(jīng)過點,.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的左、右焦點分別為,過點的直線交橢圓兩點,求面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,已知分別是橢圓的左、右焦點,橢圓與拋物線有一個公共的焦點,且過點.

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)點是橢圓在第一象限上的任一點,連接,過點作斜率為的直線,使得與橢圓有且只有一個公共點,設(shè)直線的斜率分別為,,試證明為定值,并求出這個定值;
(III)在第(Ⅱ)問的條件下,作,設(shè)于點,
證明:當(dāng)點在橢圓上移動時,點在某定直線上.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知點在拋物線上.
(1)若的三個頂點都在拋物線上,記三邊所在直線的斜率分別為,,,求的值;
(2)若四邊形的四個頂點都在拋物線上,記四邊,,所在直線的斜率分別為,,,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為,且,長軸的一個端點與短軸兩個端點組成等邊三角形的三個頂點.
(1)求橢圓方程;
(2)設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點M、N,又點,當(dāng)時,求實數(shù)m的取值范圍,

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知圓及定點,點是圓上的動點,點上,且滿足點的軌跡為曲線
(1)求曲線的方程;
(2)若點關(guān)于直線的對稱點在曲線上,求的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

與橢圓共焦點,且漸近線為的雙曲線方程是(   )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案