對n∈N*，不等式組所表示的平面區(qū)域為Dn，Dn內(nèi)的整點（橫坐標與縱坐標均為整數(shù)的點）按其到原點的距離從近到遠排成點列．（x1，y1）（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn）
（1）求xn，yn；
（2）數(shù)列{an}滿足a1=x1，且n≥2時．證明當n≥2時，；
【答案】分析：（1）-nx+2n＞0⇒x＜2，x=1．故Dn內(nèi)的整點都落在直線x=1上，且y≤n，故Dn內(nèi)的整點按其到原點的距離從近到遠排成的點列為（1，1），（1，2），…，（1，n），故xn=1，yn=n．
（2）證明：當n≥2時，由，，得，再由錯位相減法可知當n≥2時，．
解答：解：（1）-nx+2n＞0⇒x＜2，∵x＞0，且x∈N*，∴x=1．
故Dn內(nèi)的整點都落在直線x=1上，且y≤n，
故Dn內(nèi)的整點按其到原點的距離從近到遠排成的點列為（1，1），（1，2），…，（1，n），
∴xn=1，yn=n．

（2）證明：當n≥2時，
由，
得，
即  …①
∴  …②
②式減①式，得．
點評：本題考查數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，注意公式的靈活運用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)不等式組
x＞0
y＞0
y≤-nx+3n
所表示的平面區(qū)域為Dn，記Dn內(nèi)的整點個數(shù)為an（n∈N*）（整點即橫坐標與縱坐標均為整數(shù)的點）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）（理）設(shè)Sn=
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
，求Sn的最小值（n＞1，n∈N*）；
（3）設(shè)Tk=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
ak
求證：T2n≥
7n+11
36
(n＞1，n∈N*)．
（文）記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Tn=
Sn
3•2n-1
．若對一切的正整數(shù)n，總有Tn≤m，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在平面直角坐標系上，設(shè)不等式組
x＞0
y＞0
y≤-m(x-3)
（n∈N*）
所表示的平面區(qū)域為Dn，記Dn內(nèi)的整點（即橫坐標和縱坐標均
為整數(shù)的點）的個數(shù)為an（n∈N*）．
（Ⅰ）求a1，a2，a3并猜想an的表達式再用數(shù)學歸納法加以證明；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的前項和為Sn，數(shù)列{
1
Sn
}的前項和Tn，
是否存在自然數(shù)m？使得對一切n∈N*，Tn＞m恒成立．若存在，
求出m的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域為Dn，若Dn內(nèi)的整點（整點即橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點）個數(shù)為an（n∈N*）
（1）寫出an+1與an的關(guān)系（只需給出結(jié)果，不需要過程），
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn且Tn=
Sn
5•2n
，若對一切的正整數(shù)n，總有Tn≤m成立，求m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對n∈N*，不等式組
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面區(qū)域為Dn，Dn內(nèi)的整點（橫坐標與縱坐標均為整數(shù)的點）按其到原點的距離從近到遠排成點列．（x1，y1）（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn）
（1）求xn，yn；
（2）數(shù)列{an}滿足a1=x1，且n≥2時an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)．證明當n≥2時，
an+1
(n+1)
-
an
n2
=
1
n2
；

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