分析:(Ⅰ)由題設知D
n內的整點在直線x=1和x=2上.記直線y=-mx+3m為l,l與直線x=1和x=2的交點的縱坐標分別為y
1、y
2,由y
1=2n,y
2=n,知a
n=3n(n∈N*),再用數學歸納法證明.
(Ⅱ)先求得
Sn=,所以
Tn=.因為對一切n∈N
*,T
n>m恒成立,所以m<T
n的最小值,從而可求.
解答:解:(Ⅰ)當n=1時,D
1為Rt△OAB
1的內部包括斜邊,這時a
1=3,
當n=2時,D
2為Rt△OAB
2的內部包括斜邊,這時a
2=3,
當n=3時,D
3為Rt△OAB
3的內部包括斜邊,這時a
3=9
由此可猜想a
n=3n
下面用數學歸納法證明:
(1)當n=1時,猜想顯然成立.
(2)假設當n=k時,猜想成立,即a
k=3k
如圖,平面區(qū)域D
k為Rt△OAB
k內部包括斜邊、平面區(qū)域D
k+1為Rt△△OAB
k+1內部包括斜邊,∵平面區(qū)域D
k+1比平面區(qū)域D
k多3個整點,(7分)
即當n=k+1時,a
k+1=3k+3=3(k+1),這就是說當n=k+1時,猜想也成立,
由(1)、(2)知a
n=3n對一切n∈N
*都成立.(8分)
(Ⅱ)∵a
n=3n,∴數列{a
n}是首項為3,公差為3的等差數列,
∴
Sn=.∴
=(-),∴
Tn=∵對一切n∈N
*,T
n>m恒成立,∴m<T
n的最小值.
∵
Tn=在[1,+∞)上為增函數∴T
n的最小值為
,∴
m<,滿足
m<的自然數為0,
∴滿足題設的自然數m存在,其值為0.(14分)
點評:本題考查數列的性質和應用,解題時要注意公式的合理運用和不等式的應用.