(理)已知直三棱柱中，，是棱的中點．如圖所示．
 
(1)求證：平面；
(2)求二面角的大小．

(1)證明見解析；（2）.

解析試題分析：（1）本題中由于是直棱柱，且底面中，即兩兩垂直，因此我們可以建立空間直角坐標系，用空間向量來解決立體幾何問題，要證明線面垂直，只要在平面內(nèi)任取兩個不共線的向量如，只要計算出，，就能證明線線垂直，從而得證線面垂直；（2）而要求二面角的大小，可通過求兩個面和的法向量的夾角來求，法向量的夾角與二面角互補或相等來求，下面就是想辦法求法向量了，如平面，可設是它的法向量，利用，得到，只要令，就可得到一個法向量.
試題解析：(1)按如圖所示建立空間直角坐標系．由題知，可得點、、
、、、．
于是，．
可算得．
因此，．
又，
所以，．

(2)設是平面的法向量．
∴
又，
∴取，可得即平面的一個法向量是．
由(1)知，是平面的一個法向量，
記與的夾角為，則，．
結(jié)合三棱柱可知，二面角是銳角，
∴所求二面角的大小是．
考點：（1）線面垂直；（2）求二面角.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，平面平面，四邊形為矩形，．為的中點，．

（1）求證：；
（2）若時，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點，G為PD的中點，△DAB ≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，連接CE并延長交AD于F.

（1）求證：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知四棱錐P—GBCD中(如圖)，PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點，PG=4

（1）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（2）若F點是棱PC上一點，且，，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知長方形中，,為的中點.將沿折起，使得平面平面.


（1）求證：；
（2）若點是線段上的一動點，問點E在何位置時，二面角的余弦值為．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點，于，延長AE交BC于F，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如圖2所示.

（1）求證：AE⊥平面BCD；
（2）求二面角A–DC–B的余弦值．
（3）在線段上是否存在點使得平面？若存在,請指明點的位置；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱AB上的動點.

（1）求證：DA1⊥ED1；
（2）若直線DA1與平面CED1成角為45o，求的值；
（3）寫出點E到直線D1C距離的最大值及此時點E的位置（結(jié)論不要求證明）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

四棱錐P—ABCD的底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，側(cè)棱，，M、N兩點分別在側(cè)棱PB、PD上，.

(1)求證：PA⊥平面MNC。
(2)求平面NPC與平面MNC的夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E,F,G分別是AB,AD,CD的中點,計算:

(1)·.
(2)EG的長.
(3)異面直線EG與AC所成角的大小.

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