【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+alnx﹣x(a≠0),g(x)=x2 . (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對于任意的a∈(1,+∞),總存在x1 , x2∈[1,a],使得f(x1)﹣f(x2)>g(x1)﹣g(x2)+m成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
令2x2﹣x+a=0,△=1﹣8a
①當(dāng)△=1﹣8a≤0,即 時,2x2﹣x+a≥0恒成立,即f′(x)≥0恒成立,
故函數(shù)f(x)的單增區(qū)間為(0,+∞),無單減區(qū)間.
②當(dāng)△>0,即 時,由2x2﹣x+a=0解得
i)當(dāng) 時,0<x1<x2
所以當(dāng) 時f′(x)>0
當(dāng) 時f′(x)<0
③當(dāng)a≤0時,
所以當(dāng) 時f′(x)>0,當(dāng) 時f′(x)<0;
綜上所述:
當(dāng) 時,函數(shù)f(x)的單增區(qū)間為(0,+∞),無單減區(qū)間.
當(dāng) 時,函數(shù)f(x)的單增區(qū)間為 ,
單減區(qū)間為
當(dāng)a≤0時,函數(shù)f(x)的單增區(qū)間為 ,單減區(qū)間為
(Ⅱ)令F(x)=f(x)﹣g(x)=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x,x∈[1,a].
原問題等價于:對任意的a∈(1,+∞),總存在x1 , x2∈[1,a],使得F(x1)﹣F(x2)>m成立,
即F(x)max﹣F(x)min>m.
,∵a∈(1,+∞),x∈[1,a],
∴F′(x)>0,∴F(x)在x∈[1,a]上單調(diào)遞增,
∴F(x)≤F(x)max﹣F(x)min=F(a)﹣F(1)=alna﹣a+1,
即alna﹣a+1>m對任意的a∈(1,+∞)恒成立,
令h(a)=alna﹣a+1,a∈(1,+∞),只需h(a)min>m,
h′(a)=lna,∵a∈(1,+∞),∴h′(a)>0,∴h(a)在a∈(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴h(a)>h(1)=0,
所以m≤0.
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(Ⅱ)令F(x)=f(x)﹣g(x)=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x,x∈[1,a].原問題等價于:對任意的a∈(1,+∞),總存在x1 , x2∈[1,a],使得F(x1)﹣F(x2)>m成立,即F(x)max﹣F(x)min>m,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題.

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