Question

（本小題滿分12分）
如圖，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，BB₁=2,BC=2，D為B₁C₁的中點。
（Ⅰ）證明：B₁C⊥面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角B—AC—B₁的大小。

Answer 1

方法一：
（Ⅰ）證明：在Rt△BB₁D和Rt△B₁C₁C中，
由 得
△BB₁D∽△B₁C₁C，∠B₁DB=∠B₁CC₁。
又 ∠CB₁D+∠B₁CC₁=90°
故 ∠CB₁D+∠B₁DB=90°
故 B₁C⊥BD.·····················3分
又 正三棱柱ABC—A₁B₁C₁，D為B₁C₁的中點。
由 A₁D⊥平面B₁C，
得 A₁D⊥B₁C
又A₁D∩B₁D=D，
所以 B₁C⊥面A₁BD�！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ�6分
（Ⅱ）解：設(shè)E為AC的中點，連接BE．B₁E。
在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，B₁C=B₁A，∴B₁E⊥AC，BE⊥AC，
即 ∠BEB₁為二面角B—AC—B₁的平面角·································9分
又
故
所以 二面角的大小為······································12分
方法二：
（Ⅰ）證明：設(shè)BC的中點為O，如圖建立空間直角坐標系O—xyz
依題意有
則
由
故 
又 
所以
故
又 BD∩BA₁=B
所以 B₁C⊥面A₁BD，
（Ⅱ）依題意有

設(shè)⊥平面ACB₁，⊥平面ABC。
求得
故
所以 二面角的大小為

略