【題目】已知數(shù)列{an}及fn（x）=a1x+a2x2+…+anxn ， fn（﹣1）=（﹣1）nn，n=1，2，3，…
（1）求a1 ， a2 ， a3的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）求證： ．

【答案】
（1）解：由已知f1（﹣1）=﹣a1=﹣1，所以a1=1．

f2（﹣1）=﹣a1+a2=2，所以a2=3．

f3（﹣1）=﹣a1+a2﹣a3=﹣3，所以a3=5


（2）解：令x=﹣1，則 ①

②

兩式相減，得 ，

所以an+1=（n+1）+n．即an+1=2n+1．

又a1=1也滿足上式，

所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n﹣1．（n=1，2，3…）


（3）證明： ，

所以 ．③

．④

①﹣②，得

= ，

∴ ．

又n=1，2，3…，∴ 故 ＜1．

又

∴ 是遞增數(shù)列，故 …（11分）

∴


【解析】（1）由已知條件利用函數(shù)的性質(zhì)能求出a1，a2，a3的值，（2）由已知條件進行錯位相減能得出an+1=2n+1，進而得到數(shù)列{an}的通項公式，（3）利用錯位相減法即可證明出結(jié)論.

練習(xí)冊系列答案
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（1）設(shè)復(fù)數(shù) ，求|z1|；
（2）設(shè)復(fù)數(shù) ，且復(fù)數(shù)z2所對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)a的取值范圍．

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