Question

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)是（1，0），兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)Q（4，0）且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A1．求證：直線A1B過x軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點(diǎn)（1，0）．

【解析】

本試題主要是考查了橢圓的方程的求解，橢圓的幾何性質(zhì)，以直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用．

（1）因?yàn)橐驗(yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)是（1，0），所以半焦距.

因?yàn)闄E圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.，得到a,c關(guān)系，進(jìn)而解得方程．

（2）設(shè)直線x=my+4與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于x的一元二次方程，然后我們借助于根與系數(shù)的關(guān)系，來表示定點(diǎn)T的坐標(biāo)，進(jìn)而得到結(jié)論．

解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)是（1，0），所以半焦距.

因?yàn)闄E圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.

所以，解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（Ⅱ）設(shè)直線：與聯(lián)立并消去得：

.

記，，，.

由A關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，得，根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點(diǎn)為（，0），

得，即.

所以

即定點(diǎn)（1 ， 0）