【題目】已知函數(shù)),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)已知, 為整數(shù),若對(duì)任意,都有恒成立,求的最大值.

【答案】(1)見解析(2)2

【解析】試題分析:(1)先求導(dǎo)數(shù),再根據(jù)m范圍確定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定單調(diào)性,(2)先分離得,再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性(隱零點(diǎn)),根據(jù)單調(diào)性求最小值,根據(jù)極值條件化簡(jiǎn)最小值,最后根據(jù)最小值范圍確定k范圍,進(jìn)而確定的最大值.

試題解析:解:(1)由題意得,函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,

,則,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;

,則當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)時(shí),對(duì)任意,都與恒成立,等價(jià)于對(duì)任意的恒成立,

,則

由(1)知,當(dāng)時(shí), 在區(qū)間上單調(diào)遞減.

因?yàn)?/span>, ,

所以在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),

在區(qū)間上也存在唯一零點(diǎn),

設(shè)此零點(diǎn)為,則.

因?yàn)楫?dāng)時(shí), ,

當(dāng)時(shí), ,

所以在區(qū)間上的最小值為

所以.

又因?yàn)?/span> ,

所以,

所以.

又因?yàn)?/span>為整數(shù),且

所以的最大值是2.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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①函數(shù)具有“性質(zhì)”;

②若奇函數(shù)具有“性質(zhì)”,且,則

③若函數(shù)具有“性質(zhì)”,圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱,且在上單調(diào)遞減,則上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;

④若不恒為零的函數(shù)同時(shí)具有“性質(zhì)”和“性質(zhì)”,且函數(shù)對(duì),都有 成立,則函數(shù)是周期函數(shù).

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