Question

【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2.

(1)求證：AB⊥PC；

(2)在線段PD上，是否存在一點M，使得二面角MACD的大小為45°，如果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）利用直角梯形的性質(zhì)求出AB，AC的長，根據(jù)勾股定理的逆定理得出AB⊥AC，由PA⊥平面ABCD得出AB⊥PA，故AB⊥平面PAC，于是AB⊥PC；

（2）取BC的中點E，則AE⊥BC，以A為坐標原點，AE，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法表示二面角MACD根據(jù)已知條件，即可建立a的方程，從而解出a值，故存在．

試題解析：

(1)證明：如圖，由已知得四邊形ABCD是直角梯形，

由AD＝CD＝2，BC＝4，

可得AB＝AC＝4，

所以BC2＝AB2＋AC2，

所以∠BAC＝90°，即AB⊥AC，

因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，

又PA∩AC＝A，

所以AB⊥平面PAC，

所以AB⊥PC.

(2)存在，理由如下：取BC的中點E，則AE⊥BC，以A為坐標原點，AE，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,0)，C(2，2，0)，

D(0，2，0)，P(0，0,2)，B(2，－2，0)，＝(0,2，－2)，＝(2，2，0)．

設(shè)＝t (0＜t＜1)，

則點M的坐標為(0,2t，2－2t)，

所以＝(0,2t,2－2t)．

設(shè)平面MAC的法向量是n＝(x，y，z)，

則即

令x＝1，得y＝－1，z＝，

則n＝.

又m＝(0,0,1)是平面ACD的一個法向量，

所以|cos〈m，n〉|＝＝＝，

解得t＝，即點M是線段PD的中點．

此時平面MAC的一個法向量n＝(1，－1，)，

又＝(－2，3，1)．

設(shè)BM與平面MAC所成的角為θ，

則sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.

故BM與平面MAC所成角的正弦值為.