【題目】已知函數(shù)有極值,且導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點,給出命題:①;②若,則存在,使得;③若有兩個極值點,,則;④若,且是曲線,的一條切線,則的取值范圍是;則以上命題正確序號是______.
【答案】①②④
【解析】
由函數(shù)有極值,求得的范圍,同時有導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點求得的關(guān)系,判斷四個命題的真假,其中①由剛才的關(guān)系式就可判斷,②用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合零點存在定理可得,③可舉反例說明,④用已知得出在單調(diào)性,化簡函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出的表達式,從而求得其取值范圍.
由題意,,即.
設(shè),則,由得,由是一次函數(shù)知是的極值點(本題是極小值點),即為的極值點,
所以,即.
①,①正確;
②顯然時,,
設(shè)的兩解為,即為的兩個極值點,則,中有一個小于1,一個大于1,不妨設(shè),是極大值,而,若,則,在上在一個零點,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,,因此在上有零點.
所以且.②正確;
③若,則極值為0和2,,③錯誤;
④由,知②中,因此在上遞增,,
,,設(shè)切點為,
則,即,整理得,
,因為,所以,又,解得,
,
由上知是增函數(shù),所以當(dāng)時,.④正確.
故答案為:①②④.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0).以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線l與曲線C交于A,B兩點,且AB的長度為2,求直線l的普通方程.
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【題目】隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展,網(wǎng)上購物越來越受到人們的喜愛,各大購物網(wǎng)站為增加收入,促銷策略越來越多樣化,促銷費用也不斷增加.下表是某購物網(wǎng)站2018年1月~8月促銷費用(萬元)和產(chǎn)品銷量(萬件)的具體數(shù)據(jù).
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
促銷費用 | 2 | 3 | 6 | 10 | 13 | 21 | 15 | 18 |
產(chǎn)品銷量 | 1 | 1 | 2 | 3 | 3.5 | 5 | 4 | 4.5 |
(1)根據(jù)數(shù)據(jù)可知與具有線性相關(guān)關(guān)系,請建立與的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);
(2)已知6月份該購物網(wǎng)站為慶祝成立1周年,特制定獎勵制度:以(單位:件)表示日銷量,,則每位員工每日獎勵100元;,則每位員工每日獎勵150元,,則每位員工每日獎勵200元.現(xiàn)已知該網(wǎng)站6月份日銷量服從正態(tài)分布,請你計算某位員工當(dāng)月獎勵金額總數(shù)大約多少元(當(dāng)月獎勵金額總數(shù)精確到百分位).
參考數(shù)據(jù):,,其中,分別為第個月的促銷費用和產(chǎn)品銷量,.
參考公式:①對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為,;②若隨機變量服從正態(tài)分布,則,.
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【題目】如圖,是拋物線的焦點,過點且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交拋物線于、兩點,交拋物線的準(zhǔn)線于點,其中,.過點作軸的垂線交拋物線于點,直線交拋物線于點.
(1)求的值;
(2)求四邊形的面積的最小值.
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【題目】已知橢圓的焦距為2,過點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓的右焦點為F,定點,過點F且斜率不為零的直線l與橢圓交于A,B兩點,以線段AP為直徑的圓與直線的另一個交點為Q,證明:直線BQ恒過一定點,并求出該定點的坐標(biāo).
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為正方形,平面,,為上異于的點.
(1)求證:平面平面;
(2)當(dāng)與平面所成角為時,求的長;
(3)當(dāng)時,求二面角的余弦值.
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【題目】已知橢圓:的離心率,且圓過橢圓的上,下頂點.
(1)求橢圓的方程.
(2)若直線的斜率為,且直線交橢圓于、兩點,點關(guān)于點的對稱點為,點是橢圓上一點,判斷直線與的斜率之和是否為定值,如果是,請求出此定值:如果不是,請說明理.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,試討論函數(shù)的單調(diào)性,并求出函數(shù)的極值;
(2)若恒成立,求的最大值.
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