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某幾何體的直觀圖與三視圖如下，其中主視圖、俯視圖都是直角三角形，左視圖是等邊三角形．
（Ⅰ）證明：AB⊥CD；
（Ⅱ）求該幾何體的體積．
分析：（I）由三視圖知三棱錐A-BCD中，面ABC⊥面BCD，∠BCD=90°，AC=CD=BC，利用面面垂直的性質，即可證得結論；
（II）利用三棱錐的體積公式，即可得到結論．
解答：解：（I）由三視圖知三棱錐A-BCD中，面ABC⊥面BCD，∠BCD=90°，AC=CD=BC，…（4分）
∵面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD=BC，CD⊥BC，
∴CD⊥面ABC，
∵AB?面ABC，
∴CD⊥AB．…（8分）
（II）三棱錐A-BCD的體積為V=
1
3
•S△ABC•CD=
1
3
•
1
2
•2a•
3
a•2a=
2
3
3
a3． …（12分）
點評：本題考查面面垂直的性質，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖是某三棱柱被削去一個底面后的直觀圖與側視圖、俯視圖．已知CF=2AD，側視圖是邊長為2的等邊三角形；俯視圖是直角梯形，有關數據如圖所示．
（Ⅰ）求該幾何體的體積；
（Ⅱ）求二面角B-DE-F的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，是某直三棱柱（側棱與底面垂直）被削   去上底后的直觀圖與三視圖的側視圖、俯視圖．在直觀圖中，M是BD的中點．側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示．
（Ⅰ）求出該幾何體的體積；
（Ⅱ）求證：EM∥平面ABC；
（Ⅲ）試問在棱DC上是否存在點N，使NM⊥平面BDE？若存在，確定點N的位置；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•煙臺三模）如圖是某直三棱柱（側棱與底面垂直）被削去上底后的直觀圖與三視圖的側視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點，側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示．
（Ⅰ）求出該幾何體的體積．
（Ⅱ）若N是BC的中點，求證：AN∥平面CME；
（Ⅲ）求證：平面BDE⊥平面BCD．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖是某直三棱柱（側棱與底面垂直）被削去上底后的直觀圖與三視圖的側視圖、俯視圖．在直觀圖中，M是BD的中點．側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示．
（1）求證：EM∥平面ABC；
（2）求出該幾何體的體積；
（3）求證：平面BDE⊥平面BCD．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•上饒一模）如圖是某直三棱柱被削去上底后的直觀圖與三視圖的左視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點，左視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示．
（1）求證：EM∥平面ABC；
（2）求出該幾何體的體積；
（3）試問在平面ACDE上是否存在點N，使MN⊥平面BDE？若存在，確定點N的位置；若不存在，說明理由．

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