Question

（2012•煙臺三模）如圖是某直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直）被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點，側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數(shù)據(jù)如圖所示．
（Ⅰ）求出該幾何體的體積．
（Ⅱ）若N是BC的中點，求證：AN∥平面CME；
（Ⅲ）求證：平面BDE⊥平面BCD．

Answer 1

分析：（I）由圖可以看出，幾何體可以看作是以點B為頂點的四棱錐，其與底面積易求；
（II）證明線AN與面CME中一線平行即可利用線面平行的判定定理得出線面平行，由圖形易得，可構造平行四邊形證明線線平行，連接MN，則MN∥CD，AE∥CD，即可證得；
（Ⅲ）要平面BDE⊥平面BCD，關鍵是在一平面中尋找另一平面的垂線，易得AN⊥平面BCD，利用AN∥EM，可得EM⊥平面BCD
，從而得證

解答：解：（Ⅰ）由題意，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，AE∥DC，AE=2，DC=4，AB⊥AC，且AB=AC=2
∵EA⊥平面ABC，
∴EA⊥AB，又AB⊥AC，∴AB⊥平面ACDE
∴四棱錐B-ACDE的高h=AB=2，梯形ACDE的面積S=6
∴VB-ACDE=

1

3

•S•h=4，
即所求幾何體的體積為4（4分）

（Ⅱ）連接MN，則MN∥CD，AE∥CD
又MN=AE=

1

2

CD，所以四邊形ANME為平行四邊形，∴AN∥EM …（6分）
∵AN?平面CME，EM?平面CME，所以，AN∥平面CME；    …（8分）
（Ⅲ）∵AC=AB，N是BC的中點，AN⊥BC，平面ABC⊥平面BCD
∴AN⊥平面BCD  …（10分）
由（Ⅱ）知：AN∥EM
∴EM⊥平面BCD
又EM?平面BDE
所以，平面BDE⊥平面BCD．…（12分）

點評：本題以三視圖為載體，考查幾何體的體積，考查線面平行與垂直，解題的關鍵是由三視圖得出直觀圖，正確利用線面平行于垂直的判定．