【題目】已知六面體如圖所示,平面,,,,,,,,分別是棱,上的點(diǎn),且滿足.
(1)求證:平面平面;
(2)若平面與平面所成的二面角的大小為,求.
【答案】(1)見證明;(2)
【解析】
解法一:(1)連接,設(shè),根據(jù)相似三角形以及等分線段性質(zhì),即可證明,連接,證明是平行四邊形,得到,由兩平面平行判定定理即可得到平面平面。
解法二:(1)由題意可得,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量,分別與平面中兩個(gè)相交向量相乘等于0,即可證明平面平面;
(2)由(1)可得平面的法向量,再求出平面的法向量,進(jìn)而求得平面與平面所成的二面角的余弦值,由此求出。
解:(1)證法一:連接,設(shè),連接,,
因?yàn)?/span>,所以,所以,
在中,因?yàn)?/span>,
所以,且平面,
故平面,
在中,因?yàn)?/span>,
所以,且,
所以,因?yàn)?/span>,
所以,所以是平行四邊形,
所以,且平面,
所以平面,因?yàn)?/span>,所以平面平面.
證法二:因?yàn)?/span>,,,,,所以,
因?yàn)?/span>,平面,所以平面,
所以,,
取所在直線為軸,取所在直線為軸,取所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
由已知可得,,,,
所以,因?yàn)?/span>,
所以,
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,
同理可求點(diǎn)的坐標(biāo)為,
所以,,設(shè)為平面的法向量,
則,令,解得,,
所以,
因?yàn)?/span>,,
所以,且,
所以平面平面
(2) 為平面的法向量.
,
可求平面的一個(gè)法向量為
所以,
所以
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下關(guān)于圓錐曲線的命題中:
①雙曲線與橢圓有相同焦點(diǎn);
②以拋物線的焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的直線截拋物線所得的線段)為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線是相切的;
③設(shè)、為兩個(gè)定點(diǎn),為常數(shù),若,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線;
④過拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線相交于、,則使它們的橫坐標(biāo)之和等于5的直線有且只有兩條;
以上命題正確的個(gè)數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《中國詩詞大會(huì)》(第三季)亮點(diǎn)頗多,在“人生自有詩意”的主題下,十場比賽每場都有一首特別設(shè)計(jì)的開場詩詞在聲光舞美的配合下,百人團(tuán)齊聲朗誦,別有韻味.若《沁園春·長沙》、《蜀道難》、《敕勒歌》、《游子吟》、《關(guān)山月》、《清平樂·六盤山》排在后六場,且《蜀道難》排在《游子吟》的前面,《沁園春·長沙》與《清平樂·六盤山》不相鄰且均不排在最后,則后六場的排法有__________種.(用數(shù)字作答)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn),自M、N向直線作垂線,垂足分別為、.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證:⊥;
(Ⅱ)記、、的面積分別為、、,是否存在,使得對(duì)任意的,都有成立.若存在,求值;若不在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人,斐波那契數(shù)列被譽(yù)為是最美的數(shù)列,斐波那契數(shù)列滿足:,,.若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里,每一小格子的邊長為1,記前項(xiàng)所占的格子的面積之和為,每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為,則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若存在正數(shù),使恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值;
(2)設(shè),若沒有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項(xiàng)是,接下來的兩項(xiàng)是,,再接下來的三項(xiàng)是,,,依此類推那么該數(shù)列的前50項(xiàng)和為
A. 1044 B. 1024 C. 1045 D. 1025
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, , .
(1)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若,“”為真命題,“”為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,平面平面,△為等腰直角三角形,,四邊形為直角梯形,,,,,
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
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