已知橢圓的左頂點為A,右焦點為F,且過點(1,),橢圓C的焦點與曲線的焦點重合.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點F任作橢圓C的一條弦PQ,直線AP、AQ分別交直線x=4于M、N兩點,點M、N的縱坐標分別為m、n.請問以線段MN為直徑的圓是否經(jīng)過x軸上的定點?若存在,求出定意的坐標,并證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)由題意,橢圓C的焦點為(-1,0),(1,0),且過點(1,),由橢圓的定義,可得a的值,從而可求橢圓C的方程;
(2)假設以線段MN為直徑的圓經(jīng)過x軸上的定點,由(1)知F(1,0),分類討論:①當PQ⊥x軸時,以線段MN為直徑的圓的方程為(x-4)2+y2=9,可得以線段MN為直徑的圓經(jīng)過x軸上的定點(1,0),(7,0);②當直線PQ與x軸不垂直時,可得以線段MN為直徑的圓的方程為(x-4)2+(y-2=,驗證(1,0),(7,0)在圓上
解答:解:(1)由題意,橢圓C的焦點為(-1,0),(1,0),且過點(1,),
由橢圓的定義,可得2a=4,∴a=2
∴b2=a2-1=3
∴橢圓C的方程為;
(2)假設以線段MN為直徑的圓經(jīng)過x軸上的定點,由(1)知F(1,0)
①當PQ⊥x軸時,P,Q的橫坐標均為1,將x=1代入橢圓方程可得y=±
不妨令P(1,),Q(1,-
由A,P,M三點共線,得,∴m=3
同理可得n=-3
∴以線段MN為直徑的圓的方程為(x-4)2+y2=9
令y=0,可得x=1或x=7
∴以線段MN為直徑的圓經(jīng)過x軸上的定點(1,0),(7,0);
②當直線PQ與x軸不垂直時,∵A(-2,0),M(4,m),∴
∴直線AM的方程為y=
代入橢圓方程,整理可得(27+m2)x2+4m2x+4m2-108=0
設P(x1,y1),Q(x2,y2),則-2與x1是上述方程的兩個實根
∴-2x1=,∴x1=,∴y1=
∴P(,
同理可得Q(
==
∵P,F(xiàn),Q三點共線,∴
∴(m-n)(9+mn)=0
∵m≠n,∴9+mn=0,∴mn=-9
∴以線段MN為直徑的圓的方程為(x-4)2+(y-2=
將(1,0)代入上式的坐標,可得(1-4)2+(0-2=-mn++(2=
∴以線段MN為直徑的圓的方程經(jīng)過點(1,0)
同理(7,0)也在圓上,
綜上,以線段MN為直徑的圓經(jīng)過x軸上的定點(1,0),(7,0).
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查恒過定點問題,考查分類討論的數(shù)學思想,綜合性強.
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(3)在(2)問的條件下,求以線段MN為直徑的圓的面積的最小值.

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