已知橢圓的左頂點為A,左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,且圓C:過A,F(xiàn)2兩點.
(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)的方程;
(2)設(shè)直線PF2的傾斜角為α,直線PF1的傾斜角為β,當(dāng)β-α=時,證明:點P在一定圓上;
(3)設(shè)橢圓的上頂點為Q,證明:PQ=PF1+PF2
【答案】分析:(1)由圓C:確定A,F(xiàn)2兩點的坐標(biāo),即可求得橢圓方程;
(2)設(shè)點P(x,y),因為F1(-,0),F(xiàn)2,0),則可求,利用β-α=,及差角的正切公式,即可證得結(jié)論;
(3)利用兩點間的距離公式,計算|PQ|2=12-4y,計算出(|PF1|+|PF2|)2,即可得到結(jié)論.
解答:(1)解:圓與x軸交點坐標(biāo)為,,
,所以b=3,
∴橢圓方程是:
(2)證明:設(shè)點P(x,y),因為F1(-,0),F(xiàn)2,0),則=tanβ=,=tanα=,
因為β-α=,所以tan(β-α)=-
因為tan(β-α)==,所以=-
化簡得x2+y2-2y=3.
所以點P在定圓x2+y2-2y=3上.
(3)證明:∵|PQ|2=x2+(y-3)2=x2+y2-6y+9,x2+y2=3+2y,∴|PQ|2=12-4y.
又|PF1|2=(x+2+y2=2y+6+2x,|PF2|2=(x-2+y2=2y+6-2x,
∴2|PF1|×|PF2|=2=4,
因為3x2=9-3y2+6y,所以2|PF1|×|PF2|=4,
∵β=α+,又點P在定圓x2+y2-2y=3上,∴y<0,
所以2|PF1|×|PF2|=-8y,
從而(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+2|PF1|×|PF2|+|PF2|2=4y+12-8y=12-4y=|PQ|2
所以|PQ|=|PF1|+|PF2|.
點評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查差角的正切公式,考查距離公式,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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已知橢圓的左頂點為A,右焦點為F,且過點(1,),橢圓C的焦點與曲線的焦點重合.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點F任作橢圓C的一條弦PQ,直線AP、AQ分別交直線x=4于M、N兩點,點M、N的縱坐標(biāo)分別為m、n.請問以線段MN為直徑的圓是否經(jīng)過x軸上的定點?若存在,求出定點的坐標(biāo),并證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由.
(3)在(2)問的條件下,求以線段MN為直徑的圓的面積的最小值.

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