拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸，經過焦點且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線方程．
如圖所示，依題意，設拋物線方程為y2=2px，則直線方程為y=-x+
1
2
p．設直線交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，過A、B分別作準線的垂線，垂足分別為C、D．
則由拋物線定義得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|
=x1+
p
2
+x2+
p
2
，（4分）
即x1+
p
2
+x2+
p
2
=8．①
又A（x1，y1）、B（x2，y2）是拋物線和直線的交點，
由
y=-x+
1
2
p
y2=2px
消去y，得x2-3px+
p2
4
=0，
∵△=9p2-4×
p2
4
=8p2＞0．
∴x1+x2=3p．
將其代入①得p=2，
∴所求拋物線方程為y2=4x．
當拋物線方程設為y2=-2px（p＞0）時，
同理可求得拋物線方程為y2=-4x．
故所求拋物線方程為y2=4x或y2=-4x．（8分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知點是拋物線上一動點，點在軸上的投影是，點的坐標是，則的最小值是（      ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知動圓P與定圓C：（x-2）2+y2=1相外切，又與定直線l：x=-1相切，那么動圓的圓心P的軌跡方程是（　　）
A．y2=4xB．y2=-4xC．y2=8xD．y2=-8x

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知M是拋物線y2=2px（p＞0）上的點，若M到此拋物線的準線和對稱軸的距離分別為5和4，則點M的橫坐標為（　�。�
A．1B．1或4C．1或5D．4或5

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已知拋物線y2=2px（p＞0），且準線與y軸的距離為2．
（1）求此拋物線的方程；
（2）點P為拋物線上一點，且其縱坐標為2
2
，求點P到拋物線焦點的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

拋物線y2=2x的準線方程是（　�。�
A．x=
1
2
B．y=
1
2
C．x=-
1
2
D．y=-
1
2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點是坐標原點，點P（2，4），A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線上的三點．
（Ⅰ）求該拋物線的方程；
（Ⅱ）若直線PA與PB的傾斜角互補，求線段AB中點的軌跡方程；
（Ⅲ）若AB⊥PA，求點B的縱坐標的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過拋物線y2=2x內的任意一點Q（s，t）（t2＜2s）作兩條相互垂直的弦AB，CD，若弦AB，CD的中點分別為M，N，直線MN恒過定點（　�。�
A．（s+1，0）B．（|1-s|，0）C．（1+2s，0）D．（|1-2s|，0）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若點A（3，1），F(xiàn)為拋物線y2=2x的焦點，點M在拋物線上移動，則使|MA|+|MF|取最小值時，點M的坐標是______．

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