Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ lnx－x＋，其中a>0.

(1)若f(x)在(0，＋∞)上存在極值點(diǎn)，求a的取值范圍；

(2)設(shè)a∈(1，e]，當(dāng)x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)時，記f(x2)－f(x1)的最大值為M(a)．那么M(a)是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a∈(0,1)∪(1，＋∞)．（2）

【解析】試題分析：（1）即導(dǎo)函數(shù)在(0，＋∞)上變號，討論導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)大小，可得導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，進(jìn)而得a的取值范圍；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得f(x2)最大值為f(a)，f(x1)最小值為f(，即得M(a)．利用導(dǎo)數(shù)研究M(a)單調(diào)性，即得M(a)最大值

試題解析：(1)f′(x)＝－1－＝，x∈(0，＋∞)．

①當(dāng)a＝1時，f′(x)＝－≤0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，不存在極值點(diǎn)；

②當(dāng)a>0且a≠1時，f′(a)＝f′＝0.經(jīng)檢驗(yàn)a，均為f(x)的極值點(diǎn)．

∴a∈(0,1)∪(1，＋∞)．

(2)當(dāng)a∈(1，e]時，0<<1<a.由(1)知，當(dāng)f′(x)>0時， <x<a；當(dāng)f′(x)<0時，x>a或x<.

∴f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在(a，＋∞)上單調(diào)遞減．

∴對x1∈(0,1)，有f(x1)≥f；對x2∈(1，＋∞)，有f(x2)≤f(a)．

∴[f(x2)－f(x1)]max＝f(a)－f.

∴M(a)＝f(a)－f＝－

＝2，a∈(1，e]．

M′(a)＝2lna＋2＋2＝2lna，a∈(1，e]．

∴M′(a)>0，即M(a)在(1，e]上單調(diào)遞增．

∴M(a)max＝M(e)＝2＋2＝.

∴M(a)存在最大值.