Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=2

2

sin(x-

π

4

)•cosx的四個(gè)結(jié)論：
①最大值為

2

-1；
②圖象的對(duì)稱軸方程為x=-

π

8

+

k

2

π(k∈Z)；
③函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ](k∈Z)；
④圖象關(guān)于點(diǎn)(

π

8

+

kπ

2

，-1)(k∈Z)對(duì)稱．
正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：f（x）=2

2

sin（x-

π

4

）cosx，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)對(duì)①②③④四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可．

解答：解：∵f（x）=2

2

sin（x-

π

4

）cosx
=2

2

（

2

2

sinx-

2

2

cosx）cosx
=2sinxcosx-2cos²x
=sin2x-cos2x-1
=

2

sin（2x-

π

4

）-1，
∴f（x）_max=

2

-1，即①正確；
由2x-

π

4

=kπ-

π

2

（k∈Z）得：x=

kπ

2

-

π

8

（k∈Z），
∴f（x）的對(duì)稱軸方程為x=

kπ

2

-

π

8

（k∈Z），故②正確；
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得：kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]（k∈Z），故③正確；
由2x-

π

4

=kπ（k∈Z），得：x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z），
∴f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

kπ

2

+

π

8

，-1）（k∈Z）成中心對(duì)稱，故④正確；
綜上所述，確結(jié)論的序號(hào)是①②③④．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．