Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=2|x+

1

x

|，下列命題判斷錯(cuò)誤的是（　�。�

A．圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

B．值域?yàn)閇4，+∞）

C．在（-∞，-1]上是減函數(shù)

D．在（0，1]上是減函數(shù)

Answer 1

分析：A．計(jì)算出f（-x），比較與f（x）的關(guān)系從而確定函數(shù)的奇偶性．B．求出函數(shù)|x+

1

x

|的最小值，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求y的取值范圍．C．利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，先判斷函數(shù)|x+

1

x

|的單調(diào)性．然后再判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．D．先判斷函數(shù)|x+

1

x

|的單調(diào)性．然后再判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：A．因?yàn)?span id="ga0qk4u" class="MathJye">f(-x)=2|-x-

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x

|=2|x+

1

x

|=f(x)為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以A錯(cuò)誤．
B．因?yàn)?span id="9ssixud" class="MathJye">|x+

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x

|=|x|+

1

|x|

≥2，所以f(x)=2|x+

1

x

|=2|x|+

1

|x|

≥22=4，所以函數(shù)的值域?yàn)閇4，+∞），所以B正確．
C．因?yàn)楹瘮?shù)|x+

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x

|在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)=2|x+

1

x

|在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2|x+

1

x

|是偶函數(shù)，所以在對(duì)稱區(qū)間（-∞，-1]上是減函數(shù)，所以C正確．
D．因?yàn)楹瘮?shù)|x+

1

x

|在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)=2|x+

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x

|在（0，1）上為減函數(shù)，所以D正確．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)．考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性與值域的求法和判斷．正確理解復(fù)合函數(shù)之間的關(guān)系是解決復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵．