【題目】設(shè) ，若0≤a≤1，n∈N＋且n≥2，求證：f(2x)≥2f(x).

【答案】見解析

【解析】試題分析：本題主要考查了一般形式的柯西不等式，本題的解答是利用分析法，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將 f(2x)＞2f(x)轉(zhuǎn)化為，然后再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù) 單調(diào)性進(jìn)一步化簡(jiǎn)，搭配成柯西不等式形式，證明即可.

試題解析：∵，

∴要證f(2x)≥2f(x)，

只要證 ，

即證 (*)

也即證n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]

≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2 ，

∵0≤a≤1，∴a＞a2 ， 根據(jù)柯西不等式得

n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]

，

≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2 ，

即(*)式顯然成立，故原不等式成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了豐富退休生活，老王堅(jiān)持每天健步走，并用計(jì)步器記錄每天健步走的步數(shù).他從某月中隨機(jī)抽取20天的健步走步數(shù)（老王每天健步走的步數(shù)都在之間，單位：千步），繪制出頻率分布直方圖（不完整）如圖所示.

（1）完成頻率分布直方圖，并估計(jì)該月老王每天健步走的平均步數(shù)(每組數(shù)據(jù)可用區(qū)間中點(diǎn)值代替；

（2）某健康組織對(duì)健步走步數(shù)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)如下表:

每天步數(shù)分組(千步)

評(píng)價(jià)級(jí)別

及格

良好

優(yōu)秀

現(xiàn)從這20天中評(píng)價(jià)級(jí)別是“及格”或“良好”的天數(shù)里隨機(jī)抽取2天，求這2天的健步走結(jié)果屬于同一評(píng)價(jià)級(jí)別的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一農(nóng)民有基本農(nóng)田2畝，根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，若種水稻，則每季每畝產(chǎn)量為400公斤；若種花生，則每季每畝產(chǎn)量為100公斤．但水稻成本較高，每季每畝240元，而花生只需80元，且花生每公斤5元，稻米每公斤賣3元．現(xiàn)該農(nóng)民手頭有400元，兩種作物各種多少，才能獲得最大收益？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（I）若，求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；

（II）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為（ ）
A.AC⊥BD
B.AC=BD
C.AC∥截面PQMN
D.異面直線PM與BD所成的角為45°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線m、n與平面α、β，下列命題正確的是（ ）
A.m⊥α，n∥β且α⊥β，則m⊥n
B.m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n
C.α∩β=m，n⊥m且α⊥β，則n⊥α
D.m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且a1=b1=1，a5﹣3b2=7.2a +（2﹣an+1）an﹣an+1=0（n∈N*）
（1）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=anbn ， n∈N* ， 求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】用數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．

（Ⅰ）可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)?

（Ⅱ）可組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù)?

（Ⅲ）將（Ⅰ）中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，問(wèn)第項(xiàng)是什么?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足a3＝2，前3項(xiàng)和為S3＝.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

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