Question

已知函數(shù)f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a為常數(shù)，且函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在它們與坐標軸交點處的切線互相平行．
（Ⅰ）求常數(shù)a的值；
（Ⅱ）若存在x∈[0，+∞），使不等式

x-m

f(x)

＞x成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）令u（x）=|f（x）-g（x）|，求證：u（x）＞2．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）分別求出f（x）與g（x）與y軸和x軸的交點坐標，求出兩函數(shù)在與坐標軸交點處的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)值相等求得a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的a值得到f（x）的解析式，代入

x-m

f(x)

＞x，把存在x∈[0，+∞）使不等式恒成立轉(zhuǎn)化為存在x∈[0，+∞），不等式m＜x-xe^x成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）=x-xe^x，x≥0，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值后得答案；
（Ⅲ）把f（x），g（x）代入u（x）=|f（x）-g（x）|，去絕對值后得到u（x）=e^x-lnx （x＞0）．借助于兩個輔助函數(shù)m（x）=e^x-x-1 （x＞0），t（x）=lnx-x+1 （x＞0）證得e^x-1＞x，lnx+1＜x，兩式聯(lián)立后得答案．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=ae^x，
∴f（0）=a，即y=f（x）的圖象與y軸的交點坐標為（0，a）．
由g（x）=lnx-lna，得y=g（x）的圖象與x軸的交點坐標為（a，0）．
又f′（x）=ae^x，g′(x)=

1

x

，
∴f′（0）=a，g′(a)=

1

a

．
由f′（0）=g′（a），得a=1；
（Ⅱ）解：∵a=1，
∴f（x）=e^x，
則存在x∈[0，+∞），使不等式

x-m

f(x)

＞x成立等價于存在x∈[0，+∞），m＜x-xe^x成立，
令h（x）=x-xe^x，x≥0，
則h′（x）=1-e^x-xe^x≤0在x∈[0，+∞）上恒成立，
∴h（x）在x∈[0，+∞）上是減函數(shù)，
∴h（x）_max=h（0）=0，
∴實數(shù)m的取值范圍為（-∞，0）；
（Ⅲ）證明：u（x）=|f（x）-g（x）|=e^x-lnx （x＞0）．
記m（x）=e^x-x-1 （x＞0），
m′（x）=e^x-1＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴m（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴e^x-1＞x  ①
記t（x）=lnx-x+1 （x＞0），
t′(x)=

1

x

-1，
當x∈（0，1）時，t′（x）＞0．
當x∈（1，+∞）時，t′（x）＜0．
∴t（x）_max=t（1）=0，
∴l(xiāng)nx+1＜x   ②
由①②可得u（x）＞2．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，重點考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和函數(shù)構(gòu)造法，考查了學(xué)生靈活處理問題和解決問題的能力，是壓軸題．