Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（m，cosx），

b

=（1+sinx，1），x∈R，且f（

π

2

）=2
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值及此時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算可得f（x）=

a

•

b

=m（1+sinx）+cosx，再利用f(

π

2

)=2，可得m的值；
（2）由（1）可得f（x）=sinx+cosx+1=

2

sin(x+

π

4

)+1，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性研究性即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=m（1+sinx）+cosx，
∵f(

π

2

)=2，
∴m(1+sin

π

2

)+cos

π

2

=2，
化為2m=2，解得m=1．
（2）由（1）可得f（x）=sinx+cosx+1
=

2

sin(x+

π

4

)+1，
當(dāng)x+

π

4

=-

π

2

+2kπ時(shí)，即x=2kπ-

3π

4

（k∈Z）時(shí)，sin(x+

π

4

)取得最小值-1，此時(shí)f（x）取得最小值-

2

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性有界性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．