Question

【題目】斜率為k的直線l經過拋物線y＝x2的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，若線段|AB|的長為8.

(1)求拋物線的焦點F的坐標和準線方程；

(2)求直線的斜率k.

Answer 1

【答案】（1）焦點F的坐標為(0,1)，y＝－1（2）k＝±1

【解析】

（1）結合拋物線性質，計算焦點坐標和準線方程，即可。（2）結合拋物線定義，計算出的值，設出直線l的方程，得到，將直線l方程代入拋物線方程，結合根與系數關系，計算k，即可。

(1)化y＝x2為標準方程x2＝4y，

由此，可知拋物線的焦點F的坐標為(0,1)，準線方程為y＝－1.

(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由拋物線的定義知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，

于是|AB|＝y1＋y2＋2，

又|AB|＝8，所以y1＋y2＝6，

由(1)得，拋物線的焦點為(0,1)，

所以直線l的方程為y＝kx＋1，

所以kx1＋1＋kx2＋1＝6，k(x1＋x2)＝4，

由直線l的方程與拋物線方程得kx＋1＝，

即x2－4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，所以x1＋x2＝4k，

代入k(x1＋x2)＝4，得k2＝1，k＝±1.