已知函數(shù)．
（1）若存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；
（2）設，證明：．

 （1）；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）這是一個含參不等式恒成立，求參數(shù)取值范圍的問題，通常方法是根據(jù)函數(shù)性質進行求解，或分離參數(shù)轉化為求函數(shù)最值問題，若方便分離參數(shù)又較容易求分離后函數(shù)的最值，還是分離參數(shù)較好，這樣可避免對參數(shù)的討論；（2）這是一個以函數(shù)的凹凸那條性為背景的一個不等式的證明問題雙變元問題，可以將其中一個看成主元，另一個看成參數(shù)，構造函數(shù)，通過求導判斷函數(shù)的單調性和最值達到證明的目的.
試題解析：（1）（1）由變形為．
令，則
故當時，，在上單調遞減；
當時，，在上單調遞增，
所以的最大值只能在或處取得
又，，所以
所以，從而．
（2）∵，∴
設，則

當時，，在上為減函數(shù)；
當時，，在上為增函數(shù)．
從而當時，，
因為，所以．
考點：函數(shù)的零點、三角函數(shù)的性質.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，.
（1）若，是否存在、，使為偶函數(shù)，如果存在，請舉例并證明你的結論，如果不存在，請說明理由；
（2）若，，求在上的單調區(qū)間；
（3）已知，對，，有成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，恒過定點 (3,2).
(1)求實數(shù)；
(2)在(1)的條件下，將函數(shù)的圖象向下平移1個單位，再向左平移個單位后得到函數(shù)，設函數(shù)的反函數(shù)為，求的解析式；
(3)對于定義在[1,9]的函數(shù)，若在其定義域內，不等式恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升）關于行駛速度x（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：．已知甲、乙兩地相距100千米．
（I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)且．
(1)求的值；
(2)判斷在上的單調性，并給予證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）當時，畫出函數(shù)的簡圖，并指出的單調遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)有4個零點，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示．

(1) 求函數(shù)的解析式；
(2) 設函數(shù)，且，求的單調區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)對任意滿足，，若當時，（且），且．
（1）求實數(shù)的值；
（2）求函數(shù)的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

對于函數(shù)，若在定義域內存在實數(shù)，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”．
（Ⅰ）已知二次函數(shù)，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由；
（Ⅱ）若是定義在區(qū)間上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）若為定義域上的“局部奇函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．

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