如圖，已知圓O：x2＋y2＝4與y軸正半軸交于點(diǎn)P，A(－1，0)，B(1，0)，直線l與圓O切于點(diǎn)S(l不垂直于x軸)，拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn)且以l為準(zhǔn)線．

(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)S在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：拋物線的焦點(diǎn)Q始終在某一橢圓C上，并求出該橢圓C的方程；

(Ⅱ)設(shè)M、N是(Ⅰ)中橢圓C上除短軸端點(diǎn)外的不同兩點(diǎn)，且，問(wèn)：△MON的面積是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：設(shè)Q(x，y)，如圖所示，作，垂直于直線l，，為垂足，連結(jié)AQ，BQ，OS，則OS⊥l

　　∵OS是直角梯形B的中位線，

　　∴||＋||＝2|OS|

　　由拋物線的定義，知||＝|AQ|，||＝|BQ|．

　　∴|QA|＋|QB|＝||＋||＝2|OS|＝4＞2＝|AB|，　　3分

　　由橢圓的定義，得焦點(diǎn)Q在以A，B為焦點(diǎn)的橢圓

　　上，且2a＝4，2c＝2，∴b2＝3

　　∴橢圓C的方程為　　　　　　　　　　　5分

　　(Ⅱ)∵

　　∴P、M、N三點(diǎn)共線　　　　　　　　　　　　　　　6分

　　由題意，直線PN的斜率存在，設(shè)直線PN的方程為y＝kx＋2，

　　代入橢圓方程，得

　　由　　　　8分

　　設(shè)，由韋達(dá)定理，得，

　　∴

　　原點(diǎn)O到直線PN的距離為　　　　10分

　　∴

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　13分

　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即k＝±時(shí)取等號(hào)．

　　∴△MON的面積有最大值　　　　　　　　14分


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知圓O：x2+y2=1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）邊長(zhǎng)為
2
的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B均在圓O上，C、D在圓O外，當(dāng)點(diǎn)A在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，C點(diǎn)的軌跡為E．
①求軌跡E的方程；
②過(guò)軌跡E上一定點(diǎn)P（x0，y0）作相互垂直的兩條直線l1，l2，并且使它們分別與圓O、軌跡E相交，設(shè)l1被圓O截得的弦長(zhǎng)為a，設(shè)l2被軌跡E截得的弦長(zhǎng)為b，求a+b的最大值．
（2）正方形ABCD的一邊AB為圓O的一條弦，求線段OC長(zhǎng)度的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（-1，1）為圓O上一點(diǎn)．曲線C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為
2
2
的橢圓，點(diǎn)F為其右焦點(diǎn)．過(guò)原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的右準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：直線PQ與圓O相切．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A、B兩點(diǎn)，P在圓O上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），過(guò)P作直線l1，OS垂直于l1交直線l2：x=-3于點(diǎn)S．
（1）求證：“如果直線l1過(guò)點(diǎn)T（-1，0），那么
OP
•
PS
=1”為真命題；
（2）寫(xiě)出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本小題滿分15分）如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，曲線C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為的橢圓，其右焦點(diǎn)為F．若點(diǎn)P(－1,1)為圓O上一點(diǎn)，連結(jié)PF，過(guò)原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的右準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明：直線PQ與圓O相切．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(－1,1)為圓O上一點(diǎn)．曲線C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為的橢圓，點(diǎn)F為其右焦點(diǎn)．

過(guò)原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的右準(zhǔn)線l于點(diǎn)Q．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線PQ與圓O相切．

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