Question

如圖，已知圓O：x²+y²=1，O為坐標原點．
（1）邊長為

2

的正方形ABCD的頂點A、B均在圓O上，C、D在圓O外，當點A在圓O上運動時，C點的軌跡為E．
①求軌跡E的方程；
②過軌跡E上一定點P（x₀，y₀）作相互垂直的兩條直線l₁，l₂，并且使它們分別與圓O、軌跡E相交，設l₁被圓O截得的弦長為a，設l₂被軌跡E截得的弦長為b，求a+b的最大值．
（2）正方形ABCD的一邊AB為圓O的一條弦，求線段OC長度的最值．

Answer 1

分析：（1）①由題意知OA²+OB²=AB²，∠OBA=

π

4

，∠OBC=

3π

4

，在△OBC中，OC²=OB²+BC²-2OB•BC=5．由此可知軌跡E的方程；②設點O到直線l₁，l₂的距離分別為d₁，d₂，因為l₁⊥l₂，所以d₁²+d₂²=OP²=x₀²+y₀²=5，由此可知(a+b)2=4[6-(d12≤4[6-(d12+d22)+2•

6-d12-d22

2

]=4[12-2（d₁²+d₂²）]=4（12-10）=8，即a+b的最大值．
（2）設正方形邊長為a，∠OBA=θ，則cosθ=

a

2

，θ∈[0，

π

2

)．當A、B、C、D按順時針方向時，如圖所示，在△OBC中，a2+1-2acos(

π

2

+θ)=OC2，由2θ+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

)，此時OC∈(1，

2

+1]；當A、B、C、D按逆時針方向時，在△OBC中，a2+1-2acos(

π

2

-θ)=OC2，OC∈[

2

-1，

5

)．由此可知，線段OC長度的最小值為

2

-1，最大值為

2

+1．

解答：解：（1）①如圖連接OB，OA，因為OA=OB=1，AB=

2

，所以OA²+OB²=AB²，
所以∠OBA=

π

4

，所以∠OBC=

3π

4

，在△OBC中，OC²=OB²+BC²-2OB•BC=5，（2分）
所以軌跡E是以O為圓心，

5

為半徑的圓，
所以軌跡E的方程為x²+y²=5；（3分）
②設點O到直線l₁，l₂的距離分別為d₁，d₂，
因為l₁⊥l₂，所以d₁²+d₂²=OP²=x₀²+y₀²=5，（5分）
則a+b=2

1-d12

+2

5-d22

，
則(a+b)2=4[6-(d12
≤4[6-(d12+d22)+2•

6-d12-d22

2

]=4[12-2（d₁²+d₂²）]=4（12-10）=8，（8分）
當且僅當

d12+d22=5 1-d12=5-d22

，即

d22= 9 2 d12= 1 2

時取“=”，
所以a+b的最大值為2

2

；（9分）
（2）設正方形邊長為a，∠OBA=θ，則cosθ=

a

2

，θ∈[0，

π

2

)．
當A、B、C、D按順時針方向時，如圖所示，在△OBC中，a2+1-2acos(

π

2

+θ)=OC2，
即OC=

(2cosθ)2+1+2•2cosθ•sinθ

=

4cos2θ+1+2sin2θ

=

2cos2θ+2sin2θ+3

=

2 2 sin(2θ+ π 4 )+3

，
由2θ+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

)，此時OC∈(1，

2

+1]；（12分）
當A、B、C、D按逆時針方向時，在△OBC中，a2+1-2acos(

π

2

-θ)=OC2，
即OC=

(2cosθ)2+1-2•2cosθ•sinθ

=

4cos2θ+1-2sin2θ

=

2cos2θ-2sin2θ+3

=

-2 2 sin(2θ- π 4 )+3

，
由2θ-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

)，此時OC∈[

2

-1，

5

)，（15分）
綜上所述，線段OC長度的最小值為

2

-1，最大值為

2

+1．（16分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要注意數(shù)形結(jié)合．