Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=sin（x-

π

12

）sin（x+

5π

12

），有下列命題：
①此函數(shù)可以化為f（x）=-

1

2

sin（2x+

5π

6

）；
②函數(shù)f（x）的最小正周期是π，其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（

π

12

，0）；
③函數(shù)f（x）的最小值為-

1

2

，其圖象的一條對(duì)稱軸是x=

π

3

；
④函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位后得到的函數(shù)是偶函數(shù)；
⑤函數(shù)f（x）在區(qū)間（-

π

3

，0）上是減函數(shù)．
其中所有正確的命題的序號(hào)個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的積化和差公式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由三角函數(shù)的積化和差公式即可求得函數(shù)解析式為：f（x）=-

1

2

sin（2x+

5π

6

），根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一判斷即可．

解答： 解：①f（x）=sin（x-

π

12

）sin（x+

5π

12

）=-

1

2

[cos（2x+

π

3

）-cos（-

π

2

）]=-

1

2

cos（2x+

π

3

）=-

1

2

sin[

π

2

-（2x+

π

3

）]=-

1

2

sin（

π

6

-2x）=-

1

2

sin[π-（

π

6

-2x）]=-

1

2

sin（2x+

5π

6

），故正確；
②由①得f（x）=-

1

2

cos（2x+

π

3

），從而解得T=

2π

2

=π，令2x+

π

3

=kπ+

π

2

可解得：x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z，故k=0時(shí)，（

π

12

，0）是一個(gè)對(duì)稱中心．故正確；
③由①得f（x）=-

1

2

cos（2x+

π

3

），令2x+

π

3

=kπ可解得：x=

kπ

2

-

π

6

k∈Z，故k=1時(shí)，圖象的一條對(duì)稱軸是x=

π

3

，函數(shù)f（x）的最小值為-

1

2

．故正確；
④函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位后得到的函數(shù)為f（x-

π

6

）=-

1

2

cos[2（x-

π

6

）+

π

3

]=-

1

2

cos[2x-

π

3

+

π

3

]=-

1

2

cos2x，是偶函數(shù)，故正確；
⑤由①得f（x）=-

1

2

cos（2x+

π

3

），令2kπ-π≤2x+

π

3

≤2π，可解得：kπ-

2π

3

≤x≤kπ-

π

6

，k∈Z，即當(dāng)k=0時(shí)函數(shù)f（x）在區(qū)間（-

2π

3

，-

π

6

）上是減函數(shù)，故不正確．
綜上可得，所有正確的命題的序號(hào)個(gè)數(shù)是4個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的積化和差公式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．