Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的離心率為 ，短軸一個端點到右焦點的距離為 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為 ，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓的半焦距為c，依題意 ∴b=1，∴所求橢圓方程為 ．
（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2）．

①當AB⊥x軸時， ．

②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m．

由已知 ，得 ．

把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，

∴ ， ．

∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=

=

=

=

= ．

當且僅當 ，即 時等號成立．當k=0時， ，

綜上所述|AB|max=2．∴當|AB|最大時，△AOB面積取最大值 ．

【解析】（1）設橢圓的半焦距為c，依題意求出a，b的值，從而得到所求橢圓的方程．（2）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．（1）當AB⊥x軸時， ．（2）當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=kx+m．由已知 ，得 ．把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根與系數的關系進行求解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．