Question

設(shè)x，y，z∈（0，1）．求證x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：方法一、構(gòu)造函數(shù)f（x）=1-[x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）]=（y+z-1）x+（yz+1-y-z），再計(jì)算f（0），f（1），結(jié)合f（x）的圖象，即可得證；
方法二、構(gòu)造邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC，在AB，BC，AC上分別取D，E，F(xiàn)，使得AD=x，BE=z，CF=y，再由S_△ADF+S_△BDE+S_△CEF＜S_△ABC，運(yùn)用面積公式計(jì)算即可得證．

解答： 證法一：構(gòu)造函數(shù)f（x）=1-[x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）]
=（y+z-1）x+（yz+1-y-z），
∵0＜y＜1，0＜z＜1，
∴f（0）=yz+1-y-z=（1-y）（1-z）＞0，
f（1）=y+z-1+（yz+1-y-z）=yz＞0
由于函數(shù)f（x）的圖象為一條直線，
則有當(dāng)0＜x＜1，恒有f（x）＞0成立，
故原不等式成立．
證法二：構(gòu)造邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC，
在AB，BC，AC上分別取D，E，F(xiàn)，使得AD=x，BE=z，CF=y，
則BD=1-x，CE=1-z，AF=1-y，
由于S_△ADF+S_△BDE+S_△CEF＜S_△ABC，
即有

1

2

x（1-y）•sin60°+

1

2

z（1-x）•sin60°+

1

2

y（1-z）•sin60°＜

1

2

×1×1×sin60°，
即有x（1-y）+z（1-x）+y（1-z）＜1．
則原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查構(gòu)造法證明不等式的方法：構(gòu)造函數(shù)和構(gòu)造圖形法，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．