已知函數(shù)f(x)exln(xm)

(1)設(shè)x0f(x)的極值點(diǎn),求m,并討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)m≤2時(shí),證明f(x)>0.

 

112)見(jiàn)解析

【解析】f′(x)ex,由x0f(x)的極值點(diǎn),得f′(0)0,所以m1

于是f(x)exln(x1),定義域?yàn)?/span>{x|x>1},

f′(x)ex

函數(shù)f′(x)ex(1,+∞)上單遞增,

f′(0)0

因此當(dāng)x(1,0)時(shí),f′(x)<0;

當(dāng)x(0,+∞)時(shí),f′(x)>0.

所以f(x)(1,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

(2)證明 當(dāng)m≤2x(m,+∞)時(shí),ln(xm)≤ln(x2),故只需證明當(dāng)m2時(shí),f(x)>0,

當(dāng)m2時(shí),函數(shù)f′(x)ex(2,+∞)上單調(diào)遞增.

f′(1)<0,f′(0)>0,故f′(x)0(2,+∞)上有唯一實(shí)根x0,且x0(1,0)

當(dāng)x(2x0)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x(x0,+∞)時(shí),f′(x)>0,從而當(dāng)xx0時(shí),f(x)取得最小值.

f′(x0)0,得ex0,即ln(x02)=-x0,故f(x)≥f(x0)x0 >0.綜上,當(dāng)m≤2時(shí),f(x)>0.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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設(shè)yf(x)是一次函數(shù),f(0)1,且f(1),f(4)f(13)成等比數(shù)列,則f(2)f(4)f(2n)________.

 

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如圖,過(guò)圓O外一點(diǎn)M作它的一條切線,切點(diǎn)為A,過(guò)A點(diǎn)作直線AP垂直直線OM,垂足為P.

(1)證明:OM·OPOA2

(2)N為線段AP上一點(diǎn),直線NB垂直直線ON,且交圓OB點(diǎn).過(guò)B點(diǎn)的切線交直線ONK.證明:OKM90°.

 

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如圖,BD,AEBC,ACD90°,且AB6,AC4,AD12,則BE________.

 

 

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已知函數(shù)f(x)sin (2xφ),其中φ為實(shí)數(shù),若f(x)≤ 對(duì)xR恒成立,且<f(π),則下列結(jié)論正確的是(  )

A=-1

Bf>f

Cf(x)是奇函數(shù)

Df(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (kZ)

 

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關(guān)于x的方程x33x2a0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________

 

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已知函數(shù)f(x)ax2(2a1)x2ln x,aR.

(1)若曲線yf(x)x1x3處的切線互相平行,求a的值;

(2)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

 

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn),則直線OM斜率的最小值為(  )

A2 B1 C.- D.-

 

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已知直線l交橢圓4x25y280M,N兩點(diǎn),橢圓與y軸的正半軸交于B點(diǎn),若BMN的重心恰好落在橢圓的右焦點(diǎn)上,則直線l的方程是( )

A6x5y280 B6x5y280

C5x6y280 D5x6y280

 

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