Question

【題目】在“挑戰(zhàn)不可能”的電視節(jié)目上，甲、乙、丙三個(gè)人組成的解密團(tuán)隊(duì)參加一項(xiàng)解密挑戰(zhàn)活動(dòng)，規(guī)則是由密碼專(zhuān)家給出題目，然后由個(gè)人依次出場(chǎng)解密，每人限定時(shí)間是分鐘內(nèi)，否則派下一個(gè)人.個(gè)人中只要有一人解密正確，則認(rèn)為該團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗.根據(jù)甲以往解密測(cè)試情況，抽取了甲次的測(cè)試記錄，繪制了如下的頻率分布直方圖.

（1）若甲解密成功所需時(shí)間的中位數(shù)為，求、的值，并求出甲在分鐘內(nèi)解密成功的頻率；

（2）在“挑戰(zhàn)不可能”節(jié)目上由于來(lái)自各方及自身的心理壓力，甲，乙，丙解密成功的概率分別為，其中表示第個(gè)出場(chǎng)選手解密成功的概率，并且定義為甲抽樣中解密成功的頻率代替，各人是否解密成功相互獨(dú)立.

①求該團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功的概率；

②該團(tuán)隊(duì)以從小到大的順序按排甲、乙、丙三個(gè)人上場(chǎng)解密，求團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功所需派出的人員數(shù)目的分布列與數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

【答案】（1），，甲在分鐘內(nèi)解密成功的頻率；（2）①；②詳見(jiàn)解析，.

【解析】

（1）根據(jù)中位數(shù)左右兩邊的矩形面積之和均為可求得、的值，并根據(jù)頻率分布直方圖求得甲在分鐘內(nèi)解密成功的頻率；

（2）①由（1）得出，求出、的值，由此得出該團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功的概率為；

②由題意可得出隨機(jī)變量的可能取值有、、，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，據(jù)此可得出隨機(jī)變量的分布列，結(jié)合期望公式可計(jì)算出的數(shù)學(xué)期望值.

（1）甲解密成功所需時(shí)間的中位數(shù)為，

，解得，

，解得，

由頻率分布直方圖知，甲在分鐘內(nèi)解密成功的頻率是；

（2）①由題意及（1）可知第一個(gè)出場(chǎng)選手解密成功的概率為，

第二個(gè)出場(chǎng)選手解密成功的概率為，

第三個(gè)出場(chǎng)選手解密成功的概率為，

所以該團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功的概率為；

②由①可知按從小到大的順序的概率分別、、，

根據(jù)題意知的取值為、、，

則，，，

所以所需派出的人員數(shù)目的分布列為：

因此，.