Question

已知函數(shù)f（x）=x•sinx，有下列三個(gè)結(jié)論：
①存在常數(shù)T＞0，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，恒有f（x+T）=f（x）成立；
②對(duì)任意給定的正數(shù)M，都存在實(shí)數(shù)x₀，使得|f（x₀）|≥M；
③直線y=x與函數(shù)f（x）的圖象相切，且切點(diǎn)有無數(shù)多個(gè)．
則所有正確結(jié)論的序號(hào)是（　�。�

• A、①
• B、②
• C、③
• D、②③

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：①研究的是函數(shù)的周期性，采用舉對(duì)立面的形式說明其不成立；
②利用|sinx₀|≤1，可得對(duì)任意給定的正數(shù)M，都存在實(shí)數(shù)x₀，使得|f（x₀）|≥M，故正確；
③由于f′（x）=sinx+xcosx，直線y=x與函數(shù)f（x）的圖象相切，則sinx+xcosx=1，x=

π

2

是它的一個(gè)解，根據(jù)周期性，可得切點(diǎn)有無數(shù)多個(gè)．

解答： 解：①當(dāng)x=2kπ+

π

2

時(shí)，f（x）=x，隨著x的增大函數(shù)值也在增大，所以不會(huì)是周期函數(shù)，故錯(cuò)誤；
②∵|sinx₀|≤1，∴對(duì)任意給定的正數(shù)M，都存在實(shí)數(shù)x₀，使得|f（x₀）|≥M，故正確；
③由于f′（x）=sinx+xcosx，直線y=x與函數(shù)f（x）的圖象相切，則sinx+xcosx=1，x=

π

2

是它的一個(gè)解，根據(jù)周期性，可得切點(diǎn)有無數(shù)多個(gè)，故正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．