【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E在DC邊上,且DE=1,將△ADE沿AE折到△AD′E的位置,使得平面AD′E⊥平面ABCE.
(1)求證:AE⊥BD′;
(2)求三棱錐A-BCD′的體積.
【答案】(1)證明見解析;(2) .
【解析】試題分析:(Ⅰ)連接BD交AE于點(diǎn)O,推導(dǎo)出Rt△ABD~Rt△DAE,從而得到OB⊥AE,OD'⊥AE,由此能證明AE⊥平面OBD'.(Ⅱ)由VA﹣BCD'=VD'﹣ABC,能求出三棱錐A﹣BCD'的體積.
解析:
(1)連接BD交AE于點(diǎn)O,依題意得 ,所以Rt△ABD∽Rt△DAE,
所以∠DAE=∠ABD,所以∠AOD=90°,所以AE⊥BD,
則OB⊥AE,OD′⊥AE,
又OB∩OD′=O,OB,OD′在平面OBD′內(nèi),
所以AE⊥平面OBD′,
又BD′平面OBD′,所以AE⊥BD′.
(2)因?yàn)槠矫?/span>AD′E⊥平面ABCE,
由(1)知,OD′⊥平面ABCE,
所以OD′為三棱錐D′-ABC的高,
在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,DE=1,所以D′O=,
所以VA-BCD′=VD′-ABC=S△ABC·D′O=.
故三棱錐A-BCD′的體積為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正項(xiàng)等差數(shù)列{an}滿足a1=4,且a2,a4+2,2a7-8成等比數(shù)列,{an}的前n項(xiàng)和為Sn.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x-1|.
(Ⅰ)解不等式f(x)+f(x+4)≥8;
(Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求證:f(ab)>|a|f().
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(導(dǎo)學(xué)號:05856264)
已知函數(shù)f(x)=aln x,e為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)曲線f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為2,求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)若f(x)≥1-恒成立,求實(shí)數(shù)a的值取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線y=x+ln x在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的表面積為( )
A. 26+4 B. 27+4 C. 34+4 D. 17+2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(導(dǎo)學(xué)號:05856289)[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2(sinθ+cosθ),直線l的參數(shù)方程為: (t為參數(shù)) .
(Ⅰ)寫出圓C和直線l的普通方程;
(Ⅱ)點(diǎn)P為圓C上動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“扶貧幫困”是中華民族的傳統(tǒng)美德,某校為幫扶困難同學(xué),采用如下方式進(jìn)行一次募捐:在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七個(gè),紅球三個(gè),每位獻(xiàn)愛心的參與者投幣20元有一次摸獎(jiǎng)機(jī)會,一次性從箱子中摸球三個(gè)(摸完球后將球放回),若有一個(gè)紅球,獎(jiǎng)金10元,兩個(gè)紅球獎(jiǎng)金20元,三個(gè)全是紅球獎(jiǎng)金100元.
(1)求獻(xiàn)愛心參與者中將的概率;
(2)若該次募捐900位獻(xiàn)愛心參與者,求此次募捐所得善款的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(導(dǎo)學(xué)號:05856332)
已知三棱柱ABC-A1B1C1如圖所示,其中CA⊥平面ABB1A1,四邊形ABB1A1為菱形,∠AA1B1=60°,E為BB1的中點(diǎn),F為CB1的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面AEF⊥平面CAA1C1;
(Ⅱ)若CA=2,AA1=4,求B1到平面AEF的距離.
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