已知是拋物線(>0)上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn),則“=0”是“直線恒過定點(diǎn)()”的(    )

A.充分非必要條件B.充要條件
C.必要非充分條件D.非充分非必要條件

B

解析解:由推“直線AB恒過定點(diǎn)(2p,0)”
設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2
(I)當(dāng)直線l有存在斜率時(shí),設(shè)直線方程為y=kx+b,顯然k≠0且b≠0.
聯(lián)立方程得:消去y得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0

又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,

故直線l的方程為:y=kx-2pk=k(x-2p),故直線過定點(diǎn)(2p,0)
(II)當(dāng)直線l不存在斜率時(shí),設(shè)它的方程為x=m,顯然m>0

又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,即m2-2m=0,解得m=0(舍去)或m=2
可知直線l方程為:x=2,故直線過定點(diǎn)(2,0)
綜合(1)(2)可知,滿足條件的直線過定點(diǎn)(2,0).
由“直線AB恒過定點(diǎn)(2p,0)”推
設(shè)l:x=ty+2p代入拋物線y2=2px消去x得,
y2-2pty-4p2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2
則y1+y2=2pt,y1y2=-4p2
=x1x2+y1y2=(ty1+2p)(ty2+2p)+y1y2
=t2y1y2+2pt(y1+y2)+4p2+y1y2
=-4p2t2+4p2t2+4p2-4p2=0.
是“直線AB恒過定點(diǎn)(2p,0)”的充要條件.
故選B.

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A      B            C               D 

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