【題目】已知函數(shù)f(x)=(x∈R).
(1)證明:當a>3時,f(x)在R上是減函數(shù);
(2)若函數(shù)f(x)存在兩個零點,求a的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)根據(jù)題意,由分段函數(shù)的解析式依次分析f(x)的兩段函數(shù)的單調(diào)性以及最值,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義分析可得答案;
(2)根據(jù)題意,函數(shù)的解析式變形可得f(x)=3|x-1|-a,分析可得若函數(shù)f(x)存在兩個零點,即函數(shù)f(x)=3|x-1|與函數(shù)y=ax有2個不同的交點,結(jié)合函數(shù)y=3|x-1|的圖象分析可得答案.
(1)證明:根據(jù)題意,函數(shù)f(x)= ,
若a>3,則當x≥1時,f(x)=(3-a)x-3,有(3-a)<0,
此時f(x)為減函數(shù),且f(x)≤f(1)=-a,
當x<1時,f(x)=-(3+a)x+3,有-(3+a)<0,
此時f(x)為減函數(shù),且f(x)>f(1)=-a,
故當a>3時,f(x)為減函數(shù);
(2)根據(jù)題意,f(x)= =3|x-1|-a,
若函數(shù)f(x)存在兩個零點,
即函數(shù)f(x)=3|x-1|與函數(shù)y=ax有2個不同的交點,
則有0<a<3,
即a的取值范圍為(0,3)
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校高一年級共有20個班,為參加全市的鋼琴比賽,調(diào)查了各班中會彈鋼琴的人數(shù),并以組距為5將數(shù)據(jù)分組成時,作出如下頻率分布直方圖.
(Ⅰ)由頻率分布直方圖估計各班中會彈鋼琴的人數(shù)的平均值;
(Ⅱ)若會彈鋼琴的人數(shù)為的班級作為第一備選班級,會彈鋼琴的人數(shù)為的班級作為第二備選班級,現(xiàn)要從這兩類備選班級中選出兩個班參加市里的鋼琴比賽,求這兩類備選班級中均有班級被選中的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)年至年農(nóng)村居民家庭純收入(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入 | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(Ⅰ)求關(guān)于的線性回歸方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸方程,分析年至年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預測該地區(qū)年農(nóng)村居民家庭人均純收入.
注:,
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)且滿足f(1+x)=-f(3-x),且f(1)≠0,若函數(shù)g(x)=x6+f(1)cos4x-3有且只有唯一的零點,則f(2018)+f(2019)=( )
A. 1 B. C. D. 3
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義在[1,+∞)上的函數(shù)f(x)= 給出下列結(jié)論: ①函數(shù)f(x)的值域為(0,8];
②對任意的n∈N,都有f(2n)=23﹣n;
③存在k∈( , ),使得直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象有5個公共點;
④“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在n∈N,使得(a,b)(2n , 2n+1)”
其中正確命題的序號是( )
A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.②③④
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且f(-2)=-3,當x≥0時,f(x)=ax-1,其中a>0且a≠1.
(1)求的值;
(2)求函數(shù)f(x)的解析式;
(3)已知g(x)=log2x,若對任意的x1∈[1,4],存在使得f(mx1)+1≥g(x2)(其中m≥0)成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】某種設(shè)備隨著使用年限的增加,每年的維護費相應增加現(xiàn)對一批該設(shè)備進行調(diào)查,得到這批設(shè)備自購入使用之日起,前五年平均每臺設(shè)備每年的維護費用大致如表:
年份年 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
維護費萬元 |
Ⅰ求y關(guān)于t的線性回歸方程;
Ⅱ若該設(shè)備的價格是每臺5萬元,甲認為應該使用滿五年換一次設(shè)備,而乙則認為應該使用滿十年換一次設(shè)備,你認為甲和乙誰更有道理?并說明理由.
參考公式:,
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【題目】已知F1 , F2是橢圓C: + =1的左、右焦點.
(1)若點M在橢圓C上,且∠F1MF2=60°,求△F1MF2的面積;
(2)動直線y=k(x+1)與橢圓C相交于A,B兩點,點T(t,0),問是否存在t∈R,使得 為定值,若存在求出t的值,若不存在,請說明理由.
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【題目】某日A, B, C三個城市18個銷售點的小麥價格如下表:
銷售點序號 | 所屬城市 | 小麥價格(元/噸) | 銷售點序號 | 所屬城市 | 小麥價格(元/噸) |
1 | A | 2420 | 10 | B | 2500 |
2 | C | 2580 | 11 | A | 2460 |
3 | C | 2470 | 12 | A | 2460 |
4 | C | 2540 | 13 | A | 2500 |
5 | A | 2430 | 14 | B | 2500 |
6 | C | 2400 | 15 | B | 2450 |
7 | A | 2440 | 16 | B | 2460 |
8 | B | 2500 | 17 | A | 2460 |
9 | A | 2440 | 18 | A | 2540 |
(Ⅰ)求B市5個銷售點小麥價格的中位數(shù);
(Ⅱ)甲從B市的銷售點中隨機挑選一個購買1噸小麥,乙從C市的銷售點中隨機挑選一個購買1噸小麥,求甲花費的費用比乙高的概率;
(Ⅲ)如果一個城市的銷售點小麥價格方差越大,則稱其價格差異性越大.請你對A、B、C三個城市按照小麥價格差異性從大到小進行排序(只寫出結(jié)果).
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