【題目】已知F1 , F2是橢圓C: + =1的左、右焦點(diǎn).
(1)若點(diǎn)M在橢圓C上,且∠F1MF2=60°,求△F1MF2的面積;
(2)動(dòng)直線y=k(x+1)與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)T(t,0),問(wèn)是否存在t∈R,使得 為定值,若存在求出t的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:∵a2=5,b2= ,c2=a2﹣b2= ,

設(shè)丨PF1丨=m,丨PF2丨=n,

,解得:mn=

∴△F1MF2的面積S,S= mnsin60°=


(2)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

,化簡(jiǎn)得:(3k2+1)x2+6k2x+3k2﹣5=0

由韋達(dá)定理可知:x1+x2= ,x1x2=

由直線恒過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)(﹣1,0),則定有兩個(gè)交點(diǎn),

=(x1﹣t,y1), =(x2﹣t,y2),

=(x1﹣t,y1)(x2﹣t,y2)=x1x2﹣t(x1+x2)+t2+y1y2

=x1x2﹣t(x1+x2)+t2+k2[x1x2+(x1+x2)+1],

= ,

=3,解得:t=﹣

故存在,t=﹣


【解析】(1)由題意可知,求得a,b和c的值,設(shè)丨PF1丨=m,丨PF2丨=n,根據(jù)橢圓的定義即可求得mn= ,由三角形的面積公式,即可求得S= mnsin60°= ;(2)將直線方程代入橢圓方程,由韋達(dá)定理求得x1+x2 , x1x2 =(x1﹣t,y1), =(x2﹣t,y2),根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示, =(x1﹣t,y1)(x2﹣t,y2)=x1x2﹣t(x1+x2)+t2+y1y2 =3,即可求得t=﹣ ,故存在在t∈R,使得 為定值.

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A.
B.
C.
D.

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(1)求證:平面PQB⊥平面PAD;
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(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)在[﹣1,1]上存在零點(diǎn),求a的取值范圍;
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